第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算练习理新人教A版基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.设曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝()A.0B.1C.2D.3解析 y＝eax－ln(x＋1)，∴y′＝aeax－，∴当x＝0时，y′＝a－1. 曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3.故选D.答案D2.若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于()A.2B.0C.－2D.－4解析 f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴令x＝1，得f′(1)＝－2，∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.答案D3.(2017·西安质测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为()A.(1，3)B.(－1，3)C.(1，3)和(－1，3)D.(1，－3)解析f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.答案C4.(2017·石家庄调研)已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为()A.eB.－eC.D.－解析y＝lnx的定义域为(0，＋∞)，且y′＝，设切点为(x0，lnx0)，则y′|x＝x0＝，切线方程为y－lnx0＝(x－x0)，因为切线过点(0，0)，所以－lnx0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为.答案C5.(2016·郑州质检)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝()A.－1B.0C.2D.4解析由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－， g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.答案B二、填空题6.(2015·天津卷)已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3，则a的值为________.解析f′(x)＝a＝a(1＋lnx)，由于f′(1)＝a(1＋ln1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.答案37.(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________.解析设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝lnx－3x，又f(x)为偶函数，f(x)＝lnx－3x，f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，切线方程为y＝－2x－1.答案2x＋y＋1＝08.(2015·陕西卷)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.解析y′＝ex，曲线y＝ex在点(0，1)处的切线的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n)，y＝(x＞0)的导数为y′＝－(x＞0)，曲线y＝(x＞0)在点P处的切线斜率k2＝－(m＞0)，因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1，1).答案(1，1)三、解答题9.(2017·长沙调研)已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角α的取值范围.解(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，∴当x＝2时，y′＝－1，y＝，∴斜率最小的切线过点，斜率k＝－1，∴切线方程为3x＋3y－11＝0.(2)由(1)得k≥－1，∴tanα≥－1，又 α∈[0，π)，∴α∈∪.故α的取值范围为∪.10.已知曲线y＝x3＋.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程.解(1) P(2，4)在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，∴在点P(2，4)处的切线的斜率为y′|x＝2＝4.∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点A，则切线的斜率为y′|x＝x0＝x.∴切线方程为y－＝x(x－x0)，即y＝x·x－x＋. 点P(2，4)在切线上，∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2017(x)等于()A.－sinx－cosxB.sinx－cosxC.－sinx＋cosxD.sinx＋cosx解析 f1(x)＝sinx＋cosx，∴f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sinx－cosx，∴f4(x)＝f3′(x)＝－cosx＋sinx，∴f5(x)＝f4′(x)＝sinx＋cosx，∴fn(x)是以4为周期...
