数学基础知识与典型例题第六章不等式不等式知识关系表不等式的性质不等式的性质⑴(对称性或反身性)abba;⑵(传递性);⑶(可加性),此法则又称为移项法则;(同向可相加)⑷(可乘性).(正数同向可相乘)⑸(乘方法则)⑹(开方法则)⑺(倒数法则)掌握不等式的性质，应注意：条件与结论间的对应关系，是“”符号还是“”符号；运用不等式性质的关键是不等号方向的把握，条件与不等号方向是紧密相连的。运用不等式的性质可以对不等式进行各种变形,虽然这些变形都很简单,但却是我们今后研究和认识不等式的基本手例1.“a+b>2c”成立的一个充分条件是（）(A)a>c或b>c(B)a>c且bc且b>c(D)a>c或bb,下列式子中①;②a3>b3;③;④,正确的有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个例3.的大小关系为.例4.设,且则与的大小关系是.例5.已知满足,试求段.的取值范围.重要不等式1.定理1：如果a,b∈{x|x是正实数}，那么≥（当且仅当a=b时取“=”号）.注:该不等式可推出:当a、b为正数时,（当且仅当a=b时取“=”号）即:平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数2.含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：⑴⑵由可推出(,);⑶如果a,b,c∈{x|x是正实数}，那么.（当且仅当a=b=c时取“=”号）3.绝对值不等式：例6.“a>0且b>0”是“≥”的()(A)充分而非必要条件(B)必要而非充要条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件例7.若,A,G,H，其中R+，则A，G，H的大小关系是()（A）A≤G≤H（B）A≤H≤G（C）H≤G≤A（D）G≤H≤A例8.若,且，那么有最小值（）(A)6(B)9(C)4(D)3例9.不等式的最大值是（）(A)(B)(C)(D)第9页第10页注：均值不等式可以用来求最值(积定和小，和定积大),但特别要注意条件的满足：一正、二定、三相等.例10.若a+b+c=3，且a、b、c∈R+，则的最小值为.不等式解法解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。一元一次不等式和一元二次不等式是最简单的不等式.其它不等式，如高次不等式、分式不等式、无理不等式、指数和对数不等式、绝对值不等式、含有字母系数的不等式等，一般都转化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来解。解不等式时，要注意不等式的同解原理和变形过程的等价性的正确运用，对各类不等式要掌握它的特点，变形过程的程序性和特殊性，注意归纳解各类不等式的思路和方法。（1）高次不等式若可以分解成几个含x的一次因式，可用列表法或数轴标根法来解。（2）分式不等式要正确运用以下同解原理。（3）无理不等式:将无理不等式变形为与它同解的不等式组。①不等式的同解不等式组是例11.若关于的不等式的解集是,则等于()例12.不等式的解集是()例13.不等式≥的解集是（）≤≤≤≤≤≤例14.不等式的解集是()(A)(B)或②不等式的同解不等式组是（4）指数、对数不等式①指数不等式的同解不等式：当a1时，为fxgx；当01a时，为fxgx.(C)(D)或不等式解②对数不等式的同解不等式：当a1时，为;当01a时，为因此，在解指数、对数不等式时，首先要注意利用对数的性质化为同底不等式.（5）绝对值不等式解绝对值不等式关键是化为等价的不含绝对值符号的不等式（组），主要方法：例15.不等式的解集是____________.例16.解不等式例17.解关于x的不等式第9页第10页法对含有几个绝对值符号的不等式，用分区间的方法化为等价的不含绝对值的不等式组。注:绝对值的几何意义:表示数轴上的数对应的点与原点的距离.表示数轴上的数对应的点与数对应的点的距离.（6）含字母系数的不等式对上述各类不等式，都可能涉及到不等式中的字母系数，解不等式时，对字母的取值要进行恰当的分类，分类时要不重、不漏，然后根据分类进行求解。注:解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等式的变形”，是研究数学的基本手段之一。不等式的证明不等式的证明1.证明不等式的基本依据：（1）实数大小的比较原则；（2）不等式的性质；（3）几个重要不等式，特别是算术——几何平均值不等式（4）已知函数的增减性；（5）实系数一元二次方程的根的判别式.例18.已知x∈R，求证：－2≤<2.2.证明不等式...
