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数学基础知识与典型例题复习第二章函数由广东省阳江市第一中学周如钢编写映射映射：设非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射，记为f：A→B，f表示对应法则，b=f(a)。若A中不同元素的象也不同，且B中每一个元素都有原象与之对应,则称从A到B的映射为一一映射。例1.若，,则到的映射有个，到的映射有个；若，,则到的一一映射有个。例2.设集合A和集合B都是自然数集合N，映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素，则在映射下，象20的原象是()（A）2（B）3（C）4（D）5函数1.函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C={f(x)|x∈A}为值域。2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则.从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。3.函数定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.注:求函数定义域是通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。例3.已知扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，则；定义域为。例4.求函数的定义域.例5.若函数的定义域为[-1,1]，求函数的定义域。函数4.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②判别式法；③反函数法（反解法）；④换元法（代数换元法）；⑤不等式法；⑥单调函数法.注:⑴求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便.⑵常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。①函数的值域为R;②二次函数当时值域是,当时值域是]；③反比例函数的值域为；④指数函数的值域为；⑤对数函数的值域为R；⑥函数的值域为[-1，1]；函数,的值域为R；例6.已知(x¹0),求.例7.求函数的值域.例8.下列函数中值域为的是()(A)(B)(C)(D)单调函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一例9.讨论函数的单调性。性部分.对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在上为减函数.单调性单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。判断函数单调性的方法：①定义法（作差比较和作商比较）；②图象法；③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）；④复合函数单调性判断法则;⑤导数法（适用于多项式函数）函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。例10.函数在定义域上的单调性为()（A）在上是增函数，在上是增函数;（B）减函数;（C）在上是减函数，在上是减函数;（D）增函数例11.已知函数f(x),g(x)在R上是增函数，求证：f[g(x)]在R上也是增函数。奇偶性1.⑴偶函数：.设（）为偶函数上一点，则（）也是图象上一点.⑵偶函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数.②满足，或，若时，.2.⑴奇函数：.设（）为奇函数上一点，则（）也是图象上一点.⑵奇函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关例12.判断下列函数的奇偶性：①,②,于原点对称，例如：在上不是奇函数.②满足，或，若时，.注:函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如，（f(x)≠0）③反函数1.反函数定义：只有满足，函数才有反函数.例如：无反函数.函数的反函数记为，习惯上记为.2.求反函数的步骤:①将看成关于的方程,解出，若有两解，要注意解的选择；②将互换，得；③写出反函数的定义域（即的值域）。3.在同一坐标系，函数与它的反函数的图象关于对称.[注]：一般地，的反例13.求函数（-1≤x<0）的反函数例14.已知，函数y=g(x)图象...