二项展开式的妙用寇金洪例1.求的展开式中x的系数。要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理。也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开。解法1：显然，上式中只有第四项中含x。展开式中含x的项的系数是。解法2：展开式中含x的项的系数是。例2.已知的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含项的系数的最小值。分析：展开式中含项的系数是关于m,n的关系式，由展开式中含x项的系数为36，可得，从而转化为关于m或n的二次函数求解。解：展开式中含x的项为。，即。设展开式中含的项的系数为t，则。又，所以。当时，t取最小值，但，故时，t取最小值，最小值为272，此时，。例3.已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项。证明（解）：由题意得，即，（舍去）。用心爱心专心115号编辑1。（1）若是常数项，则，即因为，这不可能，所以展开式中没有常数项。（2）若是有理项，当且仅当为整数时成立。，所以，4，8。即展开式中有3项为有理项：。练一练1.展开式中常数项是（）A.第4项B.C.D.22.__________。3.的展开式中的有理项是展开式的第________项。4.展开式中各项系数绝对值之和是__________。参考答案：1.B2.3.3，9，15，214.35用心爱心专心115号编辑2
