不等式问题的题型与方法VIP专享VIP免费

浅谈不等式问题的题型与方法罗田育英高中金华一、考点回顾1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识．3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求.二、经典例题剖析不等式不等式的性质不等式的证明基本不等式不等式的解法比较法综合法分析法数学归纳法换元法反证法导数法有理不等式无理不等式指数不等式对数不等式绝对不等式不等式的应用定义域值域单调性根的分布最值问题范围问题实际应用1．有关不等式的性质此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起例1．（2006年江西卷）若a>0，b>0，则不等式－b<D.x<或x>解析：－b<答案：D点评：注意不等式和适用条件是例2.（2007年北京卷）如果正数满足，那么（）Ａ．，且等号成立时的取值唯一Ｂ．，且等号成立时的取值唯一Ｃ．，且等号成立时的取值不唯一Ｄ．，且等号成立时的取值不唯一解析：正数满足，∴4=，即，当且仅当a=b=2时，“=”成立；又4=，∴c+d≥4，当且仅当c=d=2时，“=”成立；综上得，且等号成立时的取值都为2答案：A点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。例3．(2007年安徽)若对任意R,不等式≥ax恒成立，则实数a的取值范围是(A)a＜－1(B)≤1(C)＜1（D）a≥1解析：若对任意R,不等式≥ax恒成立，当x≥0时，x≥ax，a≤1，当x＜0时，－x≥ax，∴a≥－1，综上得，即实数a的取值范围是≤1，选B。2．有关不等式的解法此类问题在高考中选择题，填空题及解答题中均有出现，并且这几年考查也为较为平凡，要求掌握几种简单的不等式的解法，如分式不等式，高次不等式，无理不等式及含有绝对值的不等式的解法特别要注意含参数不等式，这类问题经常一集合结合在一起出现在解答题中。例4．（2007年北京卷）已知集合，．若，则实数的取值范围是解析：集合={x|a－1≤x≤a+1}，={x|x≥4或x≤1}．又，∴，解得2