【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固第3章第3节导数的综合应用与实际应用新人教A版一、选择题1．(文)正三棱柱体积为V，则其表面积最小时，底面边长为()A．B．C．D．2[答案]C[解析]设正三棱柱底面边长为a，高为h，则体积V＝a2h，∴h＝，表面积S＝a2＋3ah＝a2＋，由S′＝a－＝0，得a＝，故选C．(理)在内接于半径为R的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为()A．和RB．R和RC．R和RD．以上都不对[答案]B[解析]设矩形垂直于半圆直径的边长为x，则另一边长为2，则l＝2x＋4(0＜x＜R)，l′＝2－，令l′＝0，解得x＝R.当0＜x＜R时，l′＞0；当R＜x＜R时，l′＜0.所以当x＝R时，l取最大值，即周长最大的矩形的边长为R，R.2．(文)(2014·山西省考前适应性训练)若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式：y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为()A．1百万件B．2百万件C．3百万件D．4百万件[答案]C[解析]由y′＝－3x2＋27＝0得x＝±3， x>0，∴x＝3.当00，当x>3时，y′<0，∴x＝3是函数的极大值点，由实际问题的实际意义知x＝3为函数的最大值点，故选C．(理)某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与产量x的关系是R＝则总利润最大时，每年生产的产品产量是()A．100B．150C．200D．300[答案]D[解析]由题意，总成本为C＝20000＋100x.所以总利润为P＝R－C＝P′＝令P′＝0，得x＝300，易知当x＝300时，总利润最大．3．(文)做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为()A．B．C．D．[答案]C[解析]如图，设圆柱的底面半径为R，高为h，则V＝πR2h.设造价为y，则y＝2πR2a＋2πRhb＝2πaR2＋2πRb·＝2πaR2＋，∴y′＝4πaR－.1令y′＝0并将V＝πR2h代入解得，＝.(理)(2014·石家庄模拟)已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大时，其高的值为()A．3B．C．2D．2[答案]D[解析]设正六棱柱底面边长为a，高为2h，则h＝，V六棱柱＝a2·2＝3a2，V′＝6a－，令V′＝0，解得a＝.∴h＝，∴六棱柱的高为2.4．(文)内接于半径为R的球并且体积最大的圆锥的高为()A．RB．2RC．RD．R[答案]C[解析]设圆锥的高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，∴V＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3，V′＝πRh－πh2，令V′＝0得h＝R.(理)要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为()A．cmB．cmC．cmD．cm[答案]D[解析]设圆锥的高为x，则底面半径为，其体积为V＝πx(400－x2)(0＜x＜20)，V′＝π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝.当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0，所以当x＝时，V取最大值．5．(2014·浙江省名校联考)设函数ht(x)＝3tx－2t，若有且仅有一个正实数x0，使得h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数t都成立，则x0＝()A．5B．C．3D．[答案]D[分析]“有且仅有一个正实数x0，使得h7(x0)≥ht(x0)，对t>0都成立”，即对变量t，ht(x0)的最大值≤h7(x0)．[解析] h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数t都成立，∴h7(x0)≥ht(x0)max.记g(t)＝ht(x0)＝3tx0－2t，则g′(t)＝3x0－3t，令g′(t)＝0，得t＝x，易得ht(x0)max＝g(x)＝x，∴21x0－14≥x，将选项代入检验可知选D．6．(文)(2014·山西大同诊断)设D是函数y＝f(x)定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f(x0)＝－x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”．若函数f(x)＝ax2－3x－a＋在区间[1,4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0)B．(0，)C．[，＋∞)D．(－∞，][答案]D[解析]设g(x)＝f(x)＋x，依题意，存在x∈[1,4]，使g(x)＝f(x)＋x＝ax2－2x－a＋＝20.当x＝1时，g(1)＝≠0；当x≠1时，由ax2－2x－a＋＝0得a＝.记h(x)＝(10；当x∈(2,4)时，h′(x)<0，即函数h(x)在(1,2)上是增函数，在(2,4)上是减函数，因此当x＝2时，h(x)取得最大值，最大值是h(2)＝，故满足题意的实数a的取值范围是(－∞，]，选D．(理)(2014·湖北宜昌模拟)已知y＝f(x)是奇函数...
