第6讲椭圆基础巩固1.已知F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两点.在△AF1B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为()A.6B.5C.4D.3【答案】A【解析】根据椭圆的定义,知△AF1B的周长为4a=16,故所求的第三边的长度为16-10=6.2.(2012·甘肃兰州调研)“-34)的离心率的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】∵e=,a>4,∴b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若=2,则椭圆的离心率是()A.B.C.D.【答案】D【解析】左焦点F(-c,0),右顶点A(a,0),不妨设点B在第二象限,则B,由=2,得0-a=2(-c-0),所以e==.7.若AB为过椭圆+=1中心的弦,F1为椭圆的焦点,则△F1AB面积的最大值为()A.6B.12C.24D.48【答案】B【解析】由椭圆的标准方程可知a=5,b=4,∴c==3.1如图所示,由于=+,根据椭圆的对称性可知,当且仅当△BOF1面积取最大值时,取得最大值,这时B为短轴的端点,∴的最大值为c·b=×3×4=6.∴△F1AB面积的最大值为12.8.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是.【答案】(0,1)【解析】椭圆方程化为+=1.∵该椭圆焦点在y轴上,则>2,即k<1.又k>0,∴0b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆C相交于A,B两点.若=3,则k=.【答案】【解析】根据已知=,可得a2=c2,则b2=c2,故椭圆方程为+=1,即3x2+12y2-4c2=0.设直线的方程为x=my+c,代入椭圆方程得(3m2+12)y2+6mcy-c2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则根据=3,得(c-x1,-y1)=3(x2-c,y2),由此得-y1=3y2,根据韦达定理y1+y2=-,y1y2=-,把-y1=3y2代入,得y2=,-3=-,故9m2=m2+4.故m2=,从而k2=2,k=±.又k>0,故k=.11.若椭圆+=1的焦点在x轴上,过点作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,求椭圆的方程.【解】显然x=1是一条切线,且过切点A(1,0),设另一条切线方程为y-=k(x-1),即2kx-2y+1-2k=0.由=1,解得k=-.∴圆的切线方程为3x+4y-5=0.解得B.进一步求得过A(1,0)与B两点的直线方程为y=-2x+2.令x=0,得y=2.故在椭圆方程+=1中,b=2,c=1,∴a2=5.因此椭圆方程为+=1.12.(2012·安徽卷,20)如图,F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2=60°.(1)求椭圆C的离心率;(2)已知△AF1B的面积为40,求a,b的值.【解】(1)由题意可知,△AF1F2为等边三角形,a=2c,所以e=.(2)方法一:a2=4c2,b2=3c2.直线AB的方程可为y=-(x-c).将其代入椭圆方程3x2+4y2=12c2,得B.2所以|AB|=·=c.由=|AF1|·|AB|sin∠F1AB=a·c·=a2=40,解得a=10,b=5.方法二:设|AB|=t.因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a.由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a,可知|BF1|=3a-t.再由余弦定理(3a-t)2=a2+t2-2atcos60°,可得t=a.由=a·a·=a2=40,知a=10,b=5.拓展延伸13.(2012·陕西卷,20)已知椭圆C1:+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.(1)求椭圆C2的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,=2,求直线AB的方程.【解】(1)由已知可设椭圆C2的方程为+=1(a>2),其离心率为,故=,则a=4,故椭圆C2的方程为+=1.(2)方法一:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由=2及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为y=kx.将y=kx代入+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,所以=.将y=kx代入+=1中,得(4+k2)x2=16,所以=.又由=2,得=4,即=,解得k=±1,故直线AB的方程为y=x或y=-x.方法二:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由=2及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为y=kx.将y=kx代入+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,所以=.由=2,得=,=,将,代入+=1中,得=1,即4+k2=1+4k2,解得k=±1,故直线AB的方程为y=x或y=-x.3
