第2讲两直线的位置关系及交点、距离基础巩固1.已知直线l1:y=x,若直线l2⊥l1,则直线l2的倾斜角为()A.B.kπ+(k∈Z)C.D.kπ+(k∈Z)【答案】C【解析】∵l1⊥l2,∴k2=-1.故倾斜角为.2.过点A(4,a)和B(5,b)的直线与直线y=x+m平行,则|AB|的值为()A.6B.C.2D.不能确定【答案】B【解析】∵直线AB与直线y=x+m平行,∴=1,即b-a=1.∴|AB|=.3.已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是()A.1B.2C.D.4【答案】B【解析】∵,∴m=8,直线6x+my+14=0可化为3x+4y+7=0,两平行线之间的距离d==2.4.点(4,t)到直线4x-3y=1的距离不大于3,则t的取值范围是()A.≤t≤B.010【答案】C【解析】由题意,得≤3,即|15-3t|≤15,∴0≤t≤10.5.直线x-2y+1=0关于直线y-x=1对称的直线方程是()A.2x-y+2=0B.3x-y+3=0C.2x+y-2=0D.x-2y-1=0【答案】A【解析】设所求直线上任一点的坐标为(x,y),则它关于y-x=1对称的点为(y-1,x+1),且在直线x-2y+1=0上,∴y-1-2(x+1)+1=0,化简得2x-y+2=0.6.经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程是()A.15x+5y+16=0B.5x+15y+16=0C.15x+5y+6=0D.5x+15y+6=0【答案】A【解析】由方程组设所求直线为l,∵直线l和直线3x+y-1=0平行,∴直线l的斜率k=-3.∴根据直线点斜式有y-=-3,即所求直线方程为15x+5y+16=0.7.(2013届·湖北武汉检测)点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x+2的最小距离为()1A.B.C.2D.2【答案】B【解析】当点P为直线y=x+2平移到与曲线y=x2-lnx相切的切点时,点P到直线y=x+2的距离最小.设点P(x0,y0),f(x)=x2-lnx,则f'(x0)=1.∵f'(x)=2x-,∴2x0-=1.又x0>0,∴x0=1.∴点P的坐标为(1,1),此时点P到直线y=x+2的距离为.8.过点M(-2,1)且与A(-1,2),B(3,0)两点距离相等的直线方程是()A.x+2y=0B.y=1C.x+2y=0或y=1D.x=1【答案】C【解析】方法一:当斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x+2),即kx-y+2k+1=0.由条件得,解得k=0或k=-.故所求的直线方程为y=1或x+2y=0.当直线斜率不存在时,不存在符合题意的直线.方法二:设所求直线为l,由平面几何知识知,l∥AB或l过AB中点.若l∥AB,因为kAB=-,所以直线l方程为x+2y=0.若l过AB的中点N(1,1),则直线l方程为y=1.∴所求直线方程为y=1或x+2y=0.9.与直线x-y-2=0平行,且它们的距离为2的直线方程是.【答案】x-y+2=0或x-y-6=0【解析】设所求直线l:x-y+m=0,由=2,∴m=2或-6.10.(2012·山东临沂模拟)已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围是.【答案】[0,10]【解析】由题意得,点到直线的距离为.又≤3,即|15-3a|≤15,解之,得0≤a≤10,所以a∈[0,10].11.与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线方程是.【答案】2x+3y+8=0【解析】设(x0,y0)是直线2x+3y-6=0上任一点,其关于点(1,-1)的对称点的坐标是(x,y),则2x0+3y0-6=0,(*)又由对称性知代入(*)式,得2(2-x)+3(-2-y)-6=0,即2x+3y+8=0.12.已知两直线l1:x+ysinθ-1=0和l2:2xsinθ+y+1=0,试求θ的值,使得:(1)l1∥l2;(2)l1⊥l2.【解】(1)方法一:当sinθ=0时,直线l1的斜率不存在,l2的斜率为零,l1显然不平行于l2.当sinθ≠0时,k1=-,k2=-2sinθ,欲使l1∥l2,只要-=-2sinθ,即sinθ=±,∴θ=kπ±,k∈Z,此时两直线截距不相等.∴当θ=kπ±,k∈Z时,l1∥l2.方法二:由A1B2-A2B1=0,即2sin2θ-1=0,得sin2θ=,∴sinθ=±.由B1C2-B2C1≠0,即1+sinθ≠0,即sinθ≠-1,2得θ=kπ±,k∈Z,∴当θ=kπ±,k∈Z时,l1∥l2.(2)∵A1A2+B1B2=0是l1⊥l2的充要条件,∴2sinθ+sinθ=0,即sinθ=0.∴θ=kπ(k∈Z).∴当θ=kπ,k∈Z时,l1⊥l2.13.已知直线l:3x-y+3=0,求:(1)点P(4,5)关于直线l的对称点;(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程.【解】设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P'(x',y').∵kPP'·kl=-1,即×3=-1.①又PP'的中点在直线3x-y+3=0上,∴3×+3=0.②由①②得(1)把x=4,y=5代入③及④得x'=-2,y'=7,∴P(4,5)关于直线l的对称点P'的坐标为(-2,7).(2)用③④分别代换x-y-2=0中的x,y,得关于直线l对称的直线方程为-2=0,化简得7x+y+22=0.拓展延伸14.在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得:(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大;(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.【解】(1)如图所示,设点B关于l的对称点B'的坐标为(a,b),则kBB'·kl=-1,即·3=-1.∴a+3b-12=0.①又由于线段BB'的中点坐标为,且在直线l上,∴3×-1=0,即3a-b-6=0.②解①②得a=3,b=3,∴B'(3,3).于是AB'的方程为,即2x+y-9=0.解即l与AB'的交点坐标为P(2,5).∴点P(2,5)即为所求.(2)如图所示,设C关于l的对称点为C',求出C'的坐标为.∴AC'所在直线的方程为19x+17y-93=0,AC'和l的交点坐标为,故所求P点坐标为.34
