第6讲空间向量及其运算基础巩固1.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,向量,,是()A.有相同起点的向量B.等长的向量C.共面向量D.不共面向量【答案】C【解析】∵-==,∴,,共面.2.下面几项中,可代表与向量a=(1,-1,-2)垂直的一个向量的坐标的是()A.B.(-1,-3,2)C.D.(,-3,-2)【答案】C【解析】由两向量垂直的充要条件可得.3.已知空间四边形ABCD中,G为CD的中点,则+(+)等于()A.B.C.D.【答案】A【解析】依题意有+(+)=+=.4.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且a与b的夹角的余弦值为,则λ等于()A.2B.-2C.-2或D.2或-【答案】C【解析】∵由已知可得==,∴8=3(6-λ),解得λ=-2或λ=.5.(2013·山东济宁月考)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则||为()A.aB.aC.aD.a【答案】A【解析】如图,设=a,=b,=c,则||=|++|===.于是||2=,结合正方体棱长为a可求得||=a.6.已知直线AB,CD是异面直线,AC⊥CD,BD⊥CD,且AB=2,CD=1,则异面直线AB与CD所成角的大小为()A.30°B.45°C.60°D.75°【答案】C【解析】∵cos<,>=1===,∴与所成角为60°.7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出以下向量表达式:①(-)-;②(+)-;③(-)-2;④(+)+.其中能够化简为向量的是()A.①②B.②③C.③④D.①④【答案】A【解析】①(-)-=-=;②(+)-=-=;③(-)-2=-2;④(+)+=+=.综上,表达式①②符合题意.8.已知向量a=(-1,0,1),b=(1,2,3),k∈R,若ka-b与b垂直,则k=.【答案】7【解析】∵(ka-b)⊥b,∴(ka-b)·b=0,即ka·b-b2=0.故k===7.9.已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,则||的值是.【答案】【解析】设P(x,y,z),则=(x-1,y-2,z-1),=(-1-x,3-y,4-z),由=2知x=-,y=,z=3.由两点间距离公式可得||=.10.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),则以,为边的平行四边形的面积为.【答案】7【解析】∵由题意可得=(-2,-1,3),=(1,-3,2),∴cos<,>====,sin<,>=.故以,为边的平行四边形的面积S=2×||·||·sin<,>=14×=7.11.求同时垂直于向量a=(2,2,1),b=(4,5,3)的单位向量.【解】设所求向量c=(x,y,z),则由此可知y=-z,x=.于是+z2+z2=1.因此z=±,x=±,y=∓.故向量c=或c=.12.设向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),计算2a+3b,3a-2b,a·b以及a与b所成角的余弦值,并确定λ,μ应满足的条件,使λa+μb与z轴垂直.【解】2a+3b=2×(3,5,-4)+3×(2,1,8)=(6,10,-8)+(6,3,24)=(12,13,16).3a-2b=3×(3,5,-4)-2×(2,1,8)=(9,15,-12)-(4,2,16)=(5,13,-28).a·b=(3,5,-4)·(2,1,8)=6+5-32=-21.∵|a|==,|b|==,∴cos
===-.∵λa+μb与z轴垂直,∴(3λ+2μ,5λ+μ,-4λ+8μ)·(0,0,1)=-4λ+8μ=0,2即λ=2μ.13.已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).(1)求|2a+b|;(2)在直线AB上,是否存在一点E,使得⊥b?(O为原点)【解】(1)因2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),故|2a+b|==5.(2)=+=+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),若⊥b,则·b=0.于是-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=,因此存在点E,使得⊥b,此时E点的坐标为.拓展延伸14.直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB'的中点.(1)求证:CE⊥A'D;(2)求异面直线CE与AC'所成角的余弦值.【解】(1)证明:设=a,=b,=c,根据题意,|a|=|b|=|c|且a·b=b·c=c·a=0,于是=b+c,=-c+b-a.∵·=-c2+b2=0,∴⊥,即CE⊥A'D.(2)∵=-a+c,∴||=|a|,||=|a|.因此·=(-a+c)·=c2=|a|2.故cos<,>==,即异面直线CE与AC'所成角的余弦值为.3
