第7讲空间向量的应用基础巩固1.(2012·北京西城检测)下列命题中,正确命题的个数为()①若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则n1∥n2⇔α∥β;②若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α⊥β⇔n1·n2=0;③若n是平面α的法向量,a与α共面,则n·a=0;④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】命题①中平面α,β可能平行,也可能重合;结合平面法向量的概念,易知命题②③④正确.故选C.2.在空间直角坐标系O-xyz中,平面OAB的法向量为n=(2,-2,1),已知P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d等于()A.4B.2C.3D.1【答案】B【解析】d====2.3.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos=-,则l与α所成的角θ为()A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】A【解析】 cos=-,∴sinθ=|cos|=.又 直线与平面所成角θ满足0°≤θ≤90°,∴θ=30°.4.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点,则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为()A.60°B.90°C.45°D.以上都不正确【答案】B【解析】 E是BB1的中点且AA1=2,AB=BC=1,∴∠AEA1=90°.又在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥平面ABB1A1,∴A1D1⊥AE.因此AE⊥平面A1ED1.故所求角为90°.5.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为()A.75°B.60°C.45°D.30°【答案】C【解析】如图,在四棱锥P-ABCD中,过点P作PO⊥平面ABCD于点O,连接AO,则AO是AP在底面ABCD上的射影,1从而可知∠PAO即为所求线面角. AO=,PA=1,∴cos∠PAO==.故∠PAO=45°,即所求线面角为45°.6.如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AD,则平面PAB与平面PCD所成的二面角的度数为()A.90°B.60°C.45°D.30°【答案】C【解析】 AB∥CD,∴平面PAB与平面PCD的交线l必为过P点与AB平行的直线. PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB,PA⊥CD. CD⊥AD,∴DC⊥平面PAD,从而易知DC⊥PD.因此PA⊥l,PD⊥l,即∠APD为所求二面角的平面角,∠APD=45°.7.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到截面AB1D1的距离是()A.B.C.D.【答案】C【解析】如图,以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz,则A1(2,0,4),A(2,0,0),B1(2,2,4),D1(0,0,4),=(-2,0,4),=(0,2,4),=(0,0,4),设平面AB1D1的法向量为n=(x,y,z),则即解得x=2z且y=-2z,不妨设n=(2,-2,1),设点A1到平面AB1D1的距离为d,则d==.8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.【答案】【解析】以D为坐标原点建立空间直角坐标系如图,则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2).=(-1,0,2),=(-1,2,1).故cos<,>==.9.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别是C1D1,CC1的中点,则直线B1N与平面BDM所成角的正弦值为.2【答案】【解析】以D为坐标原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,则B1(2,2,2),N(0,2,1),=(2,0,1),又M(0,1,2),D(0,0,0),B(2,2,0),则=(2,2,0),=(0,1,2),可得平面BDM的一个法向量n=(2,-2,1),因为cos==,所以直线B1N与平面BDM所成角的正弦值是.10.(2013·湖北黄石月考)在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D中,过顶点B,D,C1作截面,则二面角B-DC1-C的平面角的余弦值是.【答案】【解析】取C1D的中点O,连接BO,CO,则BO⊥C1D,CO⊥C1D,即∠BOC是二面角B-DC1-C的平面角.设正方体的棱长为1,则CO=, △BDC1为正三角形,∴OB=.故cos∠BOC==.11.(2012·江西卷,19)在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=,BC=4,点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.(1)证明在侧棱AA1上存在一点E,使得OE⊥平面BB1C1C,并求出AE的长;(2)求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值.【解】(1)证明:连接AO,在△AOA1中,作OE⊥AA1于点E,因为AA1∥BB1,所以OE⊥BB1.因为A1O⊥平面ABC,所以A1O⊥BC.3因为AB=AC,OB=OC,得AO⊥BC,所以BC⊥平面AA1O,BC⊥OE.因此OE⊥平面BB1C1C.又AO==1,AA1=,故AE==.(2)如图,分别以OA,OB,OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,-2,0),A1(0,0,2),由=得点E的坐标是,由(1)得平面BB1C1C的法向量是=,设平面A1B1C的法向量n=(x,y,z),由得令y=1,得x=2,z=-1,即n=(2,1,-1).故cos<,n>=...
