第5讲空间中的垂直关系基础巩固1.设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,则以下命题中正确的是()A.若l⊥α,α⊥β,则l⊂βB.若l⊥α,α∥β,则l⊥βC.若l∥α,α∥β,则l⊂βD.若l∥α,α⊥β,则l⊥β【答案】B【解析】对于选项A,C,可能l∥β,因此A,C均不正确.对于选项D,可能l∥β或l⊂β,因此D不正确.故选B.2.命题(1)“直线l垂直于平面α内的无数条直线,则l⊥α”,命题(2)“若l⊥α,则直线l垂直于平面α内的无数条直线”,则()A.(1)是真命题,(2)是真命题B.(1)是真命题,(2)是假命题C.(1)是假命题,(2)是真命题D.(1)是假命题,(2)是假命题【答案】C【解析】直线l垂直于平面α内的无数条直线,则l有可能与α斜交;反之若l⊥α,则直线l垂直于平面α内的无数条直线.3.已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由平面与平面垂直的判定定理知,如果m为平面α内的一条直线,m⊥β,则α⊥β,反过来则不一定,因此“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件.4.一直线和平面α所成的角为,则这条直线和平面内的直线所成角的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】由最小角定理知这条直线和平面内的直线所成角中最小角为,最大角是当斜线与平面α内的一条直线垂直时所成的角,它为.5.(2012·浙江卷,10)已知矩形ABCD,AB=1,BC=.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中,()A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直【答案】B【解析】当AC=1时,由DC=1,AD=,得∠ACD为直角,DC⊥AC,又因为DC⊥BC,所以DC⊥平面ABC.所以DC⊥AB.6.(2012·湖南长沙模拟)设X,Y,Z是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”为真命题的是()①X,Y,Z是直线②X,Y是直线,Z是平面③Z是直线,X,Y是平面④X,Y,Z是平面A.①②B.①③C.②③D.③④1【答案】C【解析】因为垂直于同一个平面的两条直线平行,垂直于同一条直线的两个平面平行,所以情形②③可使“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”为真命题.7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱AA1和AB上的点,若∠B1MN是直角,则∠C1MN=.【答案】90°【解析】 在正方体中,C1B1⊥平面ABB1A1,而MN⊂平面ABB1A1,∴C1B1⊥MN.又∠B1MN是直角,即MN⊥MB1,而MB1∩C1B1=B1,∴MN⊥平面MB1C1.故MN⊥MC1,即∠C1MN=90°.8.(2013届·山东青岛阶段测试)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可).【答案】DM⊥PC(答案不唯一)【解析】 由题意可知BD⊥PC,∴当DM⊥PC时,即有PC⊥平面MBD.又 PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.9.(2012·山东临沂沂水)在直平行六面体AC1中,四边形ABCD是菱形,∠DAB=60°,AC∩BD=O,AB=AA1.(1)求证:C1O∥平面AB1D1;(2)求证:平面AB1D1⊥平面ACC1A1.【证明】(1)连接A1C1交B1D1于O1,连接AO1. 在平行四边形AA1C1C中,C1O1∥AO,C1O1=AO,∴四边形AOC1O1为平行四边形.从而可知C1O∥AO1. C1O⊄平面AB1D1,AO1⊂平面AB1D1,∴C1O∥平面AB1D1.(2) 在直平行六面体AC1中,A1A⊥平面A1B1C1D1,∴A1A⊥B1D1. 四边形A1B1C1D1为菱形,∴B1D1⊥A1C1. A1C1∩AA1=A1,A1C1⊂平面ACC1A1,AA1⊂平面ACC1A1,∴B1D1⊥平面ACC1A1. B1D1⊂平面AB1D1,∴平面AB1D1⊥平面ACC1A1.210.(2012·浙江卷,20)如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=,AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点.(1)证明:①EF∥A1D1;②BA1⊥平面B1C1EF;(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值.【解】(1)证明:①因为C1B1∥A1D1,C1B1⊄平面ADD1A1,所以C1B1∥平面A1D1DA.又因为平面B1C1EF∩平面A1D1DA=EF,所以C1B1∥EF.故A1D1∥EF.②因为BB1⊥平面A1B1C1D1,所以BB1⊥B1C1.又因为B1C1⊥B1A1,所以B1C1⊥平面ABB1A1,故B1C1⊥BA1.在矩形ABB1A1中,F是AA1的中点,tan∠A1B1F=tan∠AA1B=,即∠A1B1F=∠AA1B,故BA1⊥B1F.所以BA1⊥平面B...
