第4讲基本不等式及不等式的应用基础巩固1.(2013届·福建福州检测)设a,b满足2a+3b=6,a>0,b>0,则+的最小值为()A.B.C.D.4【答案】A【解析】由a>0,b>0,2a+3b=6,得+=1,从而+==++++2=+2=.当且仅当=且2a+3b=6,即a=b=时等号成立.即+的最小值为.2.(2012·浙江杭州模拟)若正实数a,b满足a+b=1,则()A.+有最大值4B.ab有最小值C.+有最大值D.a2+b2有最小值【答案】C【解析】由基本不等式,得ab≤=,所以ab≤,故B错;+==≥4,故A错;由基本不等式得=,即+,故C正确;a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×=,故D错.3.下列函数中,y的最小值为4的是()A.y=x+B.y=(x∈R)C.y=ex+4e-xD.y=sinx+(0c恒成立的c的取值范围是()A.(0,10]B.(0,10)C.(0,18]D.(0,18)【答案】D【解析】∵+=1,∴a+b=(a+b)×1=(a+b)=2+++8=10++≥10+2=18,当且仅当b=2a=12时,等号成立.∴c<18.又∵c为正数,∴00,≤a恒成立,则a的取值范围是.【答案】【解析】当x>0时,=,∵x+≥2,∴=.∵a≥恒成立,∴a≥.9.当a>0,a≠1时,函数f(x)=loga(x-1)+1的图象恒过定点A,若点A在直线mx-y+n=0上,则4m+2n的最小值是.【答案】2【解析】由题意知点A(2,1),故2m+n=1.∴4m+2n≥2=2=2.当且仅当4m=2n,即2m=n,即n=,m=时取等号.∴4m+2n的最小值为2.10.设a,b,c都是正数,求证:++++.【证明】∵a,b,c都是正数,∴.同理可证,.三式相加得++++,当且仅当a=b=c时取等号.11.(1)求函数y=x(a-2x)(x>0,a为大于2x的常数)的最大值;(2)当点(x,y)在直线x+3y-4=0上移动时,求表达式3x+27y+2的最小值.【解】(1)∵x>0,a>2x,∴y=x(a-2x)=×2x(a-2x)≤×=,当且仅当x=时取等号,故函数的最大值为.(2)由x+3y-4=0得x+3y=4,∴3x+27y+2=3x+33y+2≥2+2=2·+2=2+2=20,当且仅当3x=33y且x+3y-4=0,即x=2,y=时等号成立.12.已知lg(3x)+lgy=lg(x+y+1).(1)求xy的最小值;(2)求x+y的最小值.【解】由lg(3x)+lgy=lg(x+y+1)得(1)∵x>0,y>0,∴3xy=x+y+1≥2+1.即3xy-2-1≥0,3()2-2-1≥0.(3+1)(-1)≥0.从而≥1,xy≥1,当且仅当x=y=1时,等号成立.2故xy的最小值为1.(2)∵x>0,y>0,∴x+y+1=3xy≤3·.即3(x+y)2-4(x+y)-4≥0.[3(x+y)+2][(x+y)-2]≥0.从而x+y≥2,当且仅当x=y=1时取等号.故x+y的最小值为2.拓展延伸13.(2012·江苏卷,17)如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米,某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.解:(1)令y=0,得kx-(1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知x>0,k>0,故x===10,当且仅当k=1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a>0,所以炮弹可击中目标⇔存在k>0,使3.2=ka-(1+k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根⇔判别式Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0⇔a≤6.所以当a不超过6(千米)时,可击中目标.3
