第4讲-差分方法2素材VIP免费

计算流体力学讲义第四讲有限差分法（2）李新亮lixl@imech.ac.cn；力学所主楼219；82543801知识点：离散误差的Fourier分析;间断周围数值振荡的原因；GVC格式；模型方程向N-S方程的推广；1讲义、课件上传至www.cfluid.com(流体中文网）->“流体论坛”->“CFD基础理论”CopyrightbyLiXinliang第一页，共三十五页。§3.3差分格式的进一步分析1.耗散与色散误差2CopyrightbyLiXinliang)sin()0,(0xxuxutu精确解1阶迎风2阶迎风)2/()43(21xuuuujjjjxuuujjj/)(1数值实验boundaryperiodicxxxuxutu],2,0[)sin()0,(0时间推进：3步TVD型Runge-Kutta,且时间步长足够小（误差忽略）空间离散：1阶及2阶迎风格式（20个网格点）实验观察到的现象——两类误差：振幅误差相位误差（波速误差）第二页，共三十五页。CopyrightbyLiXinliang3对以上“实验现象”进行理论分析半离散分析：假设时间推进是精确的，仅分析空间离散带来的误差（难度小、常用）全离散分析：同时分析时、空离散的误差（难度大）考查问题：实际上就是普通三角函数，采用复数形式仅仅是为了理论推导方便。用实数形式sin(kx),cos(kx)推导形式上略显繁琐。精确解：ikxikctctxikeeetxf)(),(差分格式：0jxjfctf（1）xfffjjjx/)(1)2/()43(21xuuufjjjjx其他格式……jikxjexu)(假设对于：有jikxjxexku~隐含假设:线性差分格式非线性系统作用于单波，会产生多个谐波（2）差分没有误差xikk~第三页，共三十五页。CopyrightbyLiXinliang4令：jikxjetutxf)(ˆ),(jikxjxxektutxf/~)(ˆ),(（1）式化为：0/~)(ˆ)(ˆjjikxikxxektucedttud0/~)(ˆ)(ˆxktucdttud“半离散化”：空间导数差分计算，时间方程（常微）精确计算xctkeutu/~)0(ˆ)(ˆxctkikxikxjjjeuetutxf/~)0(ˆ)(ˆ),(ixikk~如果，无误差分析（修正波数）与误差的关系k~irikkk~))/((/)0(ˆ),(xkctkxikxctkjijreeutxf理想情况：的误差导致解的幅值误差——耗散误差的误差导致解传播速度的误差——色散误差xkkkir,0rkikjikxjexu)(假设对于：有jikxjxexku~第四页，共三十五页。反映了一个波内的点数。PPW（波内的点数）=CopyrightbyLiXinliang5jikxjexu)(jikxjxexku~耗散、色散误差分别由修正波数的实部和虚部决定。k~关键参数：修正波数含义：反应波数（谱）空间内差分的误差jikxkkjefxfˆ)(任意函数：jikxkkjefikxfˆ)(定义：kkfikfˆˆ求导数，精确解差分解jikxkkjxjefxkifFˆ/~kkfxkFˆ~ˆFourier分析的任务计算出，并考差其与的逼近程度。k~ixik考察格式分辨率（resolution）的重要指标精度：反映时的情况分辨率：网格点数很少（例如波里面只有6个点）时的性能对于多尺度问题，分辨率更重要。牺牲精度，提高分辨率0xxk优秀的差分格式，1个波长里面6个点即可/2精度分辨率第五页，共三十五页。CopyrightbyLiXinliang6如何计算修正波数？jikxjexu)(jikxjxexku~定义：方法1.理论计算根据差分具体表达式及定义计算例1：xuuujjjx1令jikxjeu则：jjjjikxiikxxxikikxjjjxexkexeeexxuuu~)1()(1)(1xk于是：sin)cos1(1~ieki1阶迎风sin,cos1irkk例2：)2/()43(21xuuuujjjjx2阶迎风)43(2243221iiikxjjjjxeexexuuuuj2/)43(~2iieek2/)2sinsin4(,2/)2coscos43(irkk第六页，共三十五页。CopyrightbyLiXinliang7方法2：数值计算jikxjexu)(jikxjxexku~定义：Step1）选取计算域[0,2p],计算网格（例如64，128）Step2）给定波数k,生成函数值Step3)调用差分子程序，得到导数值Step4)通过Fourier反变换，得到谱：假设已有求差分的子程序（黑箱，已知是线性的）x线性黑箱ju强调：研究CFD本身，不能只使用理论手段，还要用数值手段jxjuv)...2,1(Njeuji...