绵阳市高中2010级第三次诊断性考试数学(文)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．DCCBBAABDD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．112．16π13．314．15．①④三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：（Ⅰ）成绩在区间的频率是：1(0.02+0.016+0.006+0.004)×10=0.54，∴人．……………………………………………………………3分（Ⅱ）成绩在区间的频率是：1(0.02+0.016+0.006+0.004+0.03)10=0.24，利用组中值估计这50名学生的数学平均成绩是：45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.24+95×0.16=76.2．……………3分（Ⅲ）成绩在区间的学生人数是：50×0.04=2人，成绩在区间的学生人数是：50×0.06=3人，设成绩在区间的学生分别是A1，A2，成绩在区间的学生分别是B1，B2，B3，从成绩在的学生中随机选取2人的所有结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)共10种情况．至少有1人成绩在内的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)共7种情况．∴至少有1人成绩在内的概率P=．……………………………6分17．解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由题意可得：解得q=2或q=(舍)，d=2．∴数列{an}的通项公式是an=2n+1，数列{bn}的通项公式是．…7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，于是，∴<．…………12分18．解：（Ⅰ）如图，记AC与BD的交点为O，连接EO，于是DO=OB．∵EF∥BD且EF＝BD，∴EFOB，ABCDEFO∴四边形EFBO是平行四边形，∴BF∥EO．而BF平面ACE，EO平面ACE，∴BF∥平面ACE．…………………………4分（Ⅱ）∵ED⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴ED⊥AC．∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴AC⊥平面BDEF．又AC⊂平面EAC，故平面EAC⊥平面BDEF．……………………………8分（Ⅲ）连结FO，∵EFDO，∴四边形EFOD是平行四边形．由ED⊥平面ABCD可得ED⊥DO，∴四边形EFOD是矩形．∵平面EAC⊥平面BDEF．∴点F到平面ACE的距离等于就是Rt△EFO斜边EO上的高，且高h=＝．∴几何体ABCDEF的体积==2．……………………………………………12分19．解：（Ⅰ）由图知：，解得ω=2．再由，得，即．由，得．∴．∴，即函数y=g(x)的解析式为g(x)=．………………………………6分（Ⅱ）由已知化简得：．∵(R为△ABC的外接圆半径)，∴，∴sinA=，sinB=．∴，即．①由余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC，即9=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab．②联立①②可得：2(ab)2-3ab-9=0，解得：ab=3或ab=(舍去)，故△ABC的面积S△ABC=．…………………………………12分20．解：（Ⅰ）由题可得：e=．∵以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+=0相切，∴=b，解得b=1．再由a2=b2+c2，可解得：a=2．∴椭圆的标准方程：．……………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：A(-2，0)，B(2，0)，直线l的方程为：x=2．设G(x0，y0)(y0≠0)，于是H(x0，0)，Q(x0，2y0)，且有，即4y02=4-x02．设直线AQ与直线BQ的斜率分别为：kAQ，kBQ，∵，即AQ⊥BQ，∴点Q在以AB为直径的圆上．∵直线AQ的方程为：，由解得：即，∴．∴直线QN的斜率为：，∴，于是直线OQ与直线QN垂直，∴直线QN与以AB为直径的圆O相切．…………………………………13分21．解：（Ⅰ）∵，当a≤0时，得函数f(x)在(-∞，+∞)上是增函数．当a>0时，若x∈(lna，+∞)，，得函数在(lna，+∞)上是增函数；若x∈(-∞，lna)，，得函数在(-∞，lna)上是减函数．综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间是(-∞，+∞)；当a>0时，函数f(x)的单调递增区间是(lna，+∞)，单调递减区间是(-∞，lna)．…5分（Ⅱ）由题知：不等式ex-ax>x+x2对任意成立，即不等式对任意成立．设(x≥2)，于是．再设，得．由x≥2，得，即在上单调递增，∴h(x)≥h(2)=e2-4>0，进而，∴g(x)在上单调递增，∴，∴，即实数a的取值范围是．………………………10分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a=1时，函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增．∴f(x)≥f(0)=1，即ex-x≥1，整理得1+x≤ex．令(n∈N*，i=1，2，…，n-1)，则≤，即≤，∴≤，≤，≤，…，≤，显然≤，∴≤，故不等式（n∈N*）成立．……………4分
