专题探究课三高考中数列问题的热点题型VIP专享VIP免费

高考导航对近几年高考试题统计看，全国卷中的数列与三角基本上交替考查，难度不大；但自主命题的省市高考题每年都考查，难度中等.考查内容主要集中在两个方面：一是以选择题和填空题的形式考查等差、等比数列的运算和性质，题目多为常规试题；二是等差、等比数列的通项与求和问题，有时结合函数、不等式等进行综合考查，涉及内容较为全面，试题题型规范、方法可循.热点一等差数列、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.【例1】(满分12分)(2015·湖北卷)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)当d>1时，记cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.满分解答(1)由题意有10a1＋45d＝100，a1d＝2，即2a1＋9d＝20，a1d＝2，(2分)119,1,22,9aadd解得或故an＝2n－1，bn＝2n－1或an＝19（2n＋79），bn＝9·29n－1.(6分)(2)由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝2n－12n－1，(7分)于是Tn＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n－12n－1，①12Tn＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n－12n.②(8分)①－②可得②12Tn＝2＋12＋122＋…＋12n－2－2n－12n(10分)＝3－2n＋32n，(11分)故Tn＝6－2n＋32n－1.(12分)❶由题意列出方程组得2分；❷解得a1与d得2分，漏解得1分；❸正确导出an，bn得2分，漏解得1分；❹写出cn得1分；❺把错位相减的两个式子，按照上下对应好，再相减，就能正确地得到结果，本题就得满分，否则就容易出错，丢掉一些分数.用错位相减法解决数列求和的模板.第一步：(判断结构)若数列{an·bn}是由等差数列{an}与等比数列{bn}(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和.第二步：(乘公比)设{an·bn}的前n项和为Tn，然后两边同乘以q.第三步：(错位相减)乘以公比q后，向后错开一位，使含有qk(k∈N*)的项对应，然后两边同时作差.第四步：(求和)将作差后的结果求和，从而表示出Tn.探究提高(1)分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题，如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的逻辑次序.(2)等差数列和等比数列可以相互转化，若数列{bn}是一个公差为d的等差数列，则{abn}(a＞0，a≠1)就是一个等比数列，其公比q＝ad；反之，若数列{bn}是一个公比为q(q＞0)的正项等比数列，则{logabn}(a＞0，a≠1)就是一个等差数列，其公差d＝logaq.【训练1】设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S3＝7，且a1＋3，3a2，a3＋4构成等差数列.(1)求数列{an}的通项；(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1，2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)由已知得a1＋a2＋a3＝7，（a1＋3）＋（a3＋4）＝6a2⇒a2＝2.设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝2q，a3＝2q，又S3＝7，所以2q＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0.解得q＝2或q＝12， q＞1，∴q＝2，∴a1＝1.故数列{an}的通项为an＝2n－1.(2)由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln23n＝3nln2.又bn＋1－bn＝3ln2，∴数列{bn}为等差数列.∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝n（b1＋bn）2＝n（3ln2＋3nln2）2＝3n（n＋1）2ln2.故Tn＝3n（n＋1）2ln2.热点二数列的通项与求和数列的通项与求和是高考必考的一种题型，重点在于灵活运用等差、等比的定义、性质、通项公式与前n项和公式.其中求通项是解答题目的基础.同时要重视方程思想的应用.教材原题(人教A必修5P47B4)数列1n（n＋1）的前n项和：Sn＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋…＋1n（n＋1），研究一下，能否找到求Sn的一个公式.你能对这个问题作一些推广吗？解题方法裂项相消法求和.【例2】(2015·全国Ⅰ卷)Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，a2n＋2an＝4Sn＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和.解(1)由a＋2an＝4Sn＋3，可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.两式相减可得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即2(an＋1＋an)＝a－a...