四年级上册“钟面问题”详解VIP专享VIP免费

四年级上册“钟面问题”详解“大自然真是神奇，从来都给我们意想不到的答案。”——hcj0131从四年级上册我们学到了人类是如何从实物记数、结绳记数、刻道记数发展到记数符号——数字的。虽然人们后来发现有二进制、八进制、十六进制等进位制，但人类与生俱来地适应了十进制——不过大自然给了我们许多例外，有音高的12进制、时间的60进制等等。“钟面问题”就是时间的多种进制在数学上的应用之一。一、研究“钟面问题”的基本知识（一）钟面的形状及角度计时工具从古代的日晷（根据影子确定时间）、水钟、烧香计时，到现在的机械钟、石英钟、原子钟，虽然计时原理变化、时钟形状因为装饰而发生改变，但若是以指针表盘作为钟面，大都是圆形的。人们将圆周平均分成360份，并规定每一份的大小称作1度，表示为1°。因此我们就有了周角360°、平角180°和直角90°的概念。而钟面被平均分成12个点钟，因此每两个整点数字刻度之间的夹角应该正好是360°÷12=30°。每两个整点数字刻度之间的夹角又被平均分成5份（每份是30°÷5=6°），因此整个钟面被平均分成5×12=60个刻度，正合每小时60分、每分钟60秒的进制，多么神奇！（二）指针运动（旋转）规律钟面上一般有3种指针：秒针、分针和时针，三种指针都绕着同一个中心点按照顺时针作旋转运动。秒针每秒运行1个最小刻度，即旋转6°，分针每分钟运行1个最小刻度，即旋转6°，时针每小时运行一个整点刻度，即30°。如果要统一这三种指针同一时间内运行的角度，将形成以下表格。1秒钟1分钟1小时1天秒针6°360°21600°518400°分针0.1°或6’6°360°8640°时针0.5’或30’’0.5°或30’30°720°其中，人们规定再将1°平均分成60份，每份为“1分”，记作“1’”；再将“1’”平均分成60份，每份为“1秒”，记作“1’’”——这个可与时间的“分、秒”有所不同——为了不导致混乱，我们尽量用°作单位来研究。二、不同类型的典型“钟面问题”典型的钟面问题不考虑秒针（或是认为这时秒针在12点处，每一分都是完整的），简化了问题，只要求时针与分针的夹角。（一）整点的时针与分针夹角问题不考虑24小时制（即将2点和14点——下午2点看做相同点钟），钟面上有12个整点，从1点整到12点整（也即0点整）。在这12个整点时，分针指向“12”，时针在各个整点上，因此时针与分针夹角为若干个30°。如：但如果时针在7、8、9、10、11点，时针和分针的夹角有2个，我们一般计算不大于180°的那个（写210°也不是算错误的）。如：（二）半点的时针与分针夹角问题不考虑24小时制，钟面上有12个半点，从1点半到12点半（也即0点半）。在这12个半点时，分针指向“6”，时针在两个整点中间（因为时针要随着分针运动而运动，分针走了半小时，时针也要走半小时），因此时针与分针夹角为若干个30°再加上1个半点30°÷2=15°。如：其实可以发现，整点、半点钟的夹角都是15°的倍数，正好是三角尺拼角的角度（请自己想象15°的各个倍数，各可以是几点钟）。（三）一般的时针与分针夹角问题如果点钟不是整点和半点，就“比较麻烦”了，因为情况很多，但不变的规律是：分针走了一个小时（一周，即360°）的几分之几，时针也要走一个小时（一个7:00或19:00时，时针和分针夹角为7个整点，即30°×7=210°，但我们一般计算不大于180°的角，即360°－210°=150°。0:30或12:30，时针和分针夹角为5又半个整点，即30°×5+30°÷2=165°，或者可以看作是平角还少半个整点，即180°－30°÷2=165°。点钟，即30°）的几分之几。因此，我们只要确定时针和分针各自的位置，再根据他们与指针“12”的角度之差就可以算出他们之间的夹角了。如：按照这个规律，我们可以分别用字母表示几点几分，来算出时针与分针的夹角。如设点钟为X（X范围在0至11）而分钟为Y（范围在00到59），则X点Y分时，时针与指针“12”夹角为30°×X+0.5°×Y，而分针与指针“12”夹角为6°×Y，它们之差为30°X－5.5°Y，即此时时针与分针夹角为|30°X－5.5°Y|（绝对值，如是负数则取其相反数）或这个角度与360°的差值。如：可以用这个“公式”来验证整点和半点的时针与分针夹角。如果还要考虑秒针的位...