轻松解决多边形的面积吕村集小学袁庆斌关于面积问题，我们并不感到陌生，尤其是多边形面积的计算，是证明面积的相等，但利用面积来解决其他问题往往不被大家重视，了解它的实用价值的人为数不多,很多学生对这些问题束手无策,根据我多年的教学经验总结，有些问题利用面积来解决能起到意想不到的效果，下面就从三个方面来阐述：一、利用同一个图形的面积的不同表达式，来计算、证明,提供方法和技巧。例1：已知；如图，矩形ABCD中，E为AB的中点，DF⊥CE垂足为F，若AB=4，AD=8，求DF的长。分析：本题利用面积解决很方便。连接DE，易得：CE==2S△CDE=CD×AD=16再由S△CDE的另一种形式：S△CDE=CE×DF可得，16=×2×DF∴DF=例2：已知；菱形的边长为a，两条对角线长分别为m，n且a=mn。求菱形中的锐角度数。分析：如图，菱形ABCD中，AC=m，BD=n,AB=a，大多数人看到此题往往无从下手，尤其是a=mn不知如何去用，其实只要我们抓住菱形面积的两种不同表达方式来解决此问题就相当简单。作菱形的一条高AE，并设AE=h,则有S菱形ABCD=BC×AE=AC×BDah=mn,又 a=mn，∴h=a因此∠ABC=30°解法二:还可利用菱形面积的另一种表达式来解:解法如下:S菱形ABCD=AC×BD=AB×BC×sin∠ABC即mn=aasin∠ABC又 a=mn，∴sin∠ABC=, ∠ABC.锐角因此∠ABC=30二、利用图形面积的“分割法”，即一个图形的面积等于它的各部分面积之和，给计算，证明提供方法和技巧。例3：求证：等腰三角形底边上的任意一点到两腰上的距离之和等于一腰上的高。ABCDEFCABED已知：△ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F，BD⊥AC垂足D求证：BD=PE+PF分析：我们知道，本题利用截长法或补短法都可以解，但都不如利用面积来解决更简洁，更方便。连结AP，易得：S△ABC=S△ABP+S△ACP即：AC×BD=AB×PE+AC×PE AB=AC故：BD=PE+PF.三、利用面积为证明比例提供方法和技巧。常用结论：（1），两个等高三角形的面积比等于相应底的比。（2），两个等底三角形的面积比等于相应高的比（3），相似三角形的面积比等于相似比的平方。例4：已知：△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，求证：=分析：此题是三角形内角平分线性质定理，证明方法比较多，但我这里只谈利用面积怎么证明本题。对于△ABD和△ACD来说，如果选用BD，CD作底，并且同高,那么有如果选用AB，AC作底，它也是等高问题（ 作DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别为E，F。由角平分线性质得；∴DE=DF）也有=,因此有：=例5：已知：(如图)，ABC中，D为AC上一点∠1=∠C求证：,分析：本题难点是求证中的平方如何处现，这自然想到相似三角形的面积比等于相似比的平方。证明思路由此而得。 ∠1=∠C，∠A=∠A∴△ABD∽△ACB∴=又 △ABD，△ACB同高∴=因此例6：已知：O为△ABC内的一点,延长AO,BO,CO分别交BC、AC、AB于D、E、F。ABCD1ABCDEFABCDEFP求证：分析：本题条件较少，求证中的线段比、、很难转化成其它线段的比，但如果把它们用一些图形的面积比来表示，问题就迎刃而解了。证明： =∴=（等比性质）同理：=，=.∴××=1例7,已知：(如图)，△ABD的面积比△BCD的面积比△ABC的面积=3:4:1,M,N分别是AC,DC上的点.且AM:AC=DN:DC,点N,M,B在同一直线上.求证：点M,N分别是AC,DC的中点.(某年全国初中数学竟赛题之一)附解答如下在CD上取点F,使CF=CD,连结BF,AF,延长DA,CB,相交于点G,设AF交BD于点H,则DF=CD.∴S△DBF:S△DBC:S△BFC=3:4:1又 S△ABD:S△DBC:S△ABC=3:4:1∴S△DBF=S△ABD,S△BFC=S△ABC.又 △DBF与△ABD,同底BD.∴这两个三角形关于BD边上的高相等.不难证得,AH=HF.又 △BFC与△ABC同底BC.∴这两个三角形关于BC边上的高相等.于是有AF//BC∴ HF=AH,∴BC=BG.又 ∴MN//AD又点,M.N.B在同一直线上,∴==,∴CN=ND.CM=MAABCDEFOMCBNADGFH即N,M分别是AC,DC的中点,此解法较烦,在添加铺助线中的点”F”不容易想到.且多次用到平行线得比例的性质,证法二:AF,并延长DA,CF,相交于点G设S△ABG=s,S△ABC=a,则S△ABD=3a,S△BDC=4a. △DGB与△DCB同高,△AGB与△ABC同高∴S△DGB:S△DCB=S△AGC:S△ACB=GB:BC.即==,.解得s=a.∴GB=BC,又 ,∴MN//AD又点M,N,B在同一直线上∴∴CN=ND.CM=MA.即N,M分别是A...
