中心极限定理1VIP免费

中心极限定理定理一林德伯格-列维中心极限定理[独立同分布的中心极限定理](Lindberg-levi)定理二棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理[二项分布以正态分布为极限分布](DeMoivre-Laplace)中心极限定理的客观背景在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.空气阻力所产生的误差，对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.如瞄准时的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等.观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大.则这种量一般都服从或近似服从正态分布.自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见.现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题.当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？在什么条件下极限分布会是正态的呢？由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量nkknknkkknXDXEXZ111)()(的分布函数的极限.nkknknkkknXDXEXZ111)()(的分布函数的极限.可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布.考虑中心极限定理这就是下面要介绍的在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.我们只讨论几种简单情形.下面给出的独立同分布随机变量序列的中心极限定理，也称列维一林德伯格（Levy－Lindberg）定理.本定理的证明在20世纪20年代由林德伯格和列维给出，因证明较复杂，在此从略。}{lim1xnnXPniin定理1（独立同分布下的中心极限定理）x-2t-dte212它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布.设X1,X2,…是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,…，则2注则Yn为nkkX1的标准化随机变量.)(limxxYPnn即n足够大时，Yn的分布函数近似于标准正态随机变量的分布函数nnXYnkkn1记)1,0(~NYn近似nkkX1nYnn),(2nnN近似服从虽然在一般情况下，我们很难求出X1+X2+…+Xn的分布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布.下面介绍的棣莫佛－拉普拉斯定理（二项分布的正态近似）是上述定理的特殊情况.定理2(棣莫佛－拉普拉斯定理）})1({limxpnpnpYPnn设随机变量服从参数n,p(01920)由题给条件知,诸Xi独立,16只元件的寿命的总和为161kkXY解:设第i只元件的寿命为Xi,i=1,2,…,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000依题意，所求为P(Y>1920)由于E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心极限定理,近似N(0,1)4001600YP(Y>1920)=1-P(Y1920)=1-(0.8))40016001920(1-=1-0.7881=0.2119例2:某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中被盗索赔户占20%,以X表示在随机抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.(1)写出X的概率分布;(2)求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率;解:(1)由题可知:X~B(100,0.2)....