第五章非线性方程数值解法一、基本内容提要1.二分法对于非线性方程，设在区间上连续，且有，则在内必有零点。不妨设。取，若，则就是原方程的解。否则，若，取；若，取，则有且在上连续，满足。重复上述过程又可得到区间，满足，且。如此继续下去，则得到一个区间序列且满足，因而均为方程的有根区间。由区间套定理，存在，使得且是方程的根。若取作为根的近似值，则误差为按上述方法求非线性方程的近似解的方法称为二分法。2.基本迭代法将方程改写成以下等价形式假若取定初始值，根据迭代公式产生迭代序列。若收敛于，在处连续，就有即是方程解。故当充分大时，可取作为方程的根的近似值。用上述迭代格式求方程近似根的方法即称为基本迭代法（PrimaryIteration），被称为迭代函数，收敛点称为的不动点，此迭代法称为不动点迭代法（FixedPointIteration）。3.收敛速度设序列收敛于，记迭代误差，如果存在正数和，使得成立，则称序列是阶收敛的，或称的收敛阶为。4.埃特金加速法(AitkenAccelerationMethod)Aitken加速法是加快已知收敛序列的收敛速度的方法，该方法思想是通过已知序列构造一个收敛更快的序列。具体过程为：设是一个线性收敛的序列，且收敛于方程的根。由若在考虑区间上变化不大，即，则有从中解出，可得记序列要比原来序列更快地收敛于，上式即被称为Aitken加速方法。5.Newton迭代法设在其零点邻近一阶连续可微，且，当充分接近时，由Taylor公式有用方程近似方程，其解可作为方程的近似解。重复以上过程，得迭代公式按照上式求方程的近似解的方法即被称为Newton迭代法。6．弦截法(Chord-SectionMethod)在Newton迭代公式中，若用差商代替导数，得到迭代公式按照上式计算方程的近似解的方法被称为弦截法。7．解非线性方程组的Newton法对于非线性方程组若记，，则方程组可简记成向量形式0如果存在向量，使，则称为非线性方程组的解。像单个方程的Newton迭代法一样，采用逐次线性化的方法构造方程组的Newton迭代法。在某个近似解处，将向量函数作泰勒(Taylor)展开，则有：从而得方程0的近似方程即其中称为向量函数的Jacobi矩阵，。线性方程组称为Newton方程组。如果的Jacobi矩阵在处非奇异，方程组有唯一解，则为方程组0的第次近似解。按上述过程求方程组0的近似解的方法称为Newton方法。
