0102解答12高等代数1期末试卷VIP免费

2012学年第一学期高等代数Ⅰ(A卷)一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设A,B为n阶方阵，下列运算正确的是（D）(A)AB12A12B12(B)AA(C）A2B2ABAB(D)若A可逆，则12A1112A1分析：AB12ABABAB,A12B12AAABAB，矩阵乘法不满足交换律，故两者不一定相等；同理，ABABA2AB-BAB2A2B2A（-1）nAA；2、设A是56矩阵，其秩为5，则齐次线性方程组AX0（C）(A)基础解系恰有5个解向量(B)基础解系恰有6个解向量(C)基础解系恰有1个解向量(D)只有零解分析：基础解系所含向量个数：n(未知数个数)-r（A的秩）0=6-5=13、若矩阵Anm的秩为r，则下列结论正确的是（D）(A)A的任何级数不超过r的子式都不等于零(B)A的任何级数不超过r的子式都等于零(C)A的任何级数大于r的子式都不等于零(D)A的任何级数大于r的子式都等于零分析：细读课本134页定理6.4、设1,2,,r是n维列向量，则1,2,,r线性无关的充要条件是（D）(A)向量组1,2,,r中任意两个向量线性无关(B)存在一组不全为0的数c1,c2,,cr，使得c11c22crr0(C)向量组1,2,(D)向量组1,2,,r中存在一个向量不能由其余向量线性表示,r中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5、设A,B都是n阶正定矩阵，则下列结论正确的是（C）(A)AB是正定矩阵(B)AB是正定矩阵(C)AB是可逆矩阵(D)AB是实对称矩阵分析：A，B正定A0，B0ABAB0AB可逆二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设f(x)和g(x)是两个多项式,若fx,gx1，则fx,gxf(x)1；证明由于(f(x),g(x))1，所以存在多项式u(x),v(x)使得u(x)f(x)v(x)g(x))1于是u(x)f(x)v(x)g(x)-v(x)f(x)v(x)f(x)1[u(x)v(x)]f(x)v(x)[f(x)g(x)]1故(f(x),f(x)g(x))1.2、六阶行列式中，a56a12a34a23a41a65这一项该带正号；（-1）分析：该项符号为（5,1,3,2，4,6）（+6,2,4,3，1,5）14=（-1）=13、设A为三阶方阵，A*为A的伴随矩阵，且有A2，则(3A)114A*；272A*A*2分析：A==，A*=A=4，故A2-11A11A*1113*(3A)A*-A*=-A*=-A*=（-）A23262331=4274、设11,1,2,21,0,0,31,4,k的一个极大线性无关组是1,3，则k8；112分析：依题意1,2,3线性相关，从而1000814k5、若二次型fx1,x2,x32x12x22x322x1x2tx2x3是正定的，则t满足条件：2t2。三、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“”）1．A,B均为n阶复对称矩阵，则A,B合同的充要条件是秩(A)秩(B)；（√）2、含有n个未知数的非齐次线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩等于n；（）分析：Axb有解r(A)=r(A)3、A,B均为矩阵，若AB0，则A0或者B0；（分析：矩阵乘法不满足交换律，消去律，即）AB=BA不一定成立；AB=0不一定得到A=0或B=0；AB=AC不一定有BC4、如果向量组1,2,合；（）分析：向量组1,2,合；5、若多项式f(x)和g(x)的最大公因式唯一，则f(x)g(x)0。（√）四、简答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分）,r线性相关，则每个i都可以表示为其余向量的线性组,r线性相关，则至少有一个i都可以表示为其余向量的线性组1001A*021A0AA1、设，又，求矩阵以及它的逆矩阵。0111解：因为AA*AE，所以有AA(A*)1，A1*A（2分）A而A*A31（4分）,且A0，A1，100又(A*)1011，（6分）012100*1所以A(A)011，012100021011为分块对角矩阵注意：(A*)1的求法（1）利用（2）A*E作初等行变换（3）A*1*（A*）=*，此法繁琐，不推荐A1设A为n阶矩阵，涉及A*的题目充分利用以下公式：A1*n-1A，A*=AA112、求n阶行列式1112n2n1的值。12n2n11111解：行列式特点：每一行的和相等为“1”,每一列的和相等为“1”111112n2n1r1ri(i2,3,,n)11101110111n0111...