第2讲等差数列★热点考点题型探析★考点1等差数列的通项与前n项和题型1已知等差数列的某些项，求某项【例1】已知为等差数列，，则【解题思路】可以考虑基本量法，或利用等差数列的性质【解析】方法1：方法2：，方法3：令，则方法4：为等差数列，也成等差数列，设其公差为，则为首项，为第4项.方法5：为等差数列，三点共线【名师指引】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法.题型2已知前项和及其某项，求项数.【例2】⑴已知为等差数列的前项和，，求；⑵若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数.【解题思路】⑴利用等差数列的通项公式求出及，代入可求项数；⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出，代入可求项数.【解析】⑴设等差数列的首项为，公差为，则⑵【名师指引】解决等差数列的问题时，通常考虑两种方法：⑴基本量法；⑵利用等差数列的性质.题型3求等差数列的前n项和【例3】已知为等差数列的前项和，.⑴求；⑵求；⑶求.【解题思路】利用求出，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.【解析】4.，当时，，当时，，当时，，.由，得，当时，；当时，.⑴；⑵；⑶当时，，当时，【名师指引】含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论.【新题导练】为等差数列，（互不相等），求.【解析】为等差数列的前项和，，则.【解析】设等差数列的公差为，则.个数成等差数列，它们的和为，平方和为，求这个数.【解析】设这个数分别为则解得当时，这个数分别为：；当时，这个数分别为：为等差数列的前项和，，求.【解析】方法1：设等差数列的公差为，则；方法2：.考点2证明数列是等差数列【例4】已知为等差数列的前项和，.求证：数列是等差数列.【解题思路】利用等差数列的判定方法⑴定义法；⑵中项法.【解析】方法1：设等差数列的公差为，，（常数）数列是等差数列.方法2：，，，数列是等差数列.【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有：⑴定义法：（，是常数）是等差数列；⑵中项法：()是等差数列；⑶通项公式法：（是常数）是等差数列；⑷前项和公式法：（是常数，）是等差数列.【新题导练】为数列的前项和，，⑴求常数的值；⑵求证：数列是等差数列.【解析】⑴，，⑵由⑴知：，当时，，，数列是等差数列.考点3等差数列的性质【例5】⑴已知为等差数列的前项和，，则；⑵已知为等差数列的前项和，，则.【解题思路】利用等差数列的有关性质求解.【解析】⑴；⑵方法1：令，则.，，；方法2：不妨设.，；方法3：是等差数列，为等差数列三点共线..【名师指引】利用等差数列的有关性质解题，可以简化运算.【新题导练】6.含个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（）【解析】（本两小题有多种解法），.选B.、分别是等差数列、的前项和，，则.【解析】填.考点4等差数列与其它知识的综合【例6】已知为数列的前项和，；数列满足：，，其前项和为⑴求数列、的通项公式；⑵设为数列的前项和，，求使不等式对都成立的最大正整数的值.【解题思路】⑴利用与的关系式及等差数列的通项公式可求；⑵求出后，判断的单调性.【解析】⑴，当时，；当时，当时，，；，是等差数列，设其公差为.则，.⑵，是单调递增数列.当时，对都成立所求最大正整数的值为.【名师指引】本题综合考察等差数列、通项求法、数列求和、不等式等知识，利用了函数、方程思想，这是历年高考的重点内容.【新题导练】为数列的前项和，，.⑴求数列的通项公式；⑵数列中是否存在正整数，使得不等式对任意不小于的正整数都成立？若存在，求最小的正整数，若不存在，说明理由.【解析】⑴当时，，且，是以为公差的等差数列，其首项为.当时，当时，，；⑵，得或，当时，恒成立，所求最小的正整数★抢分频道★基础巩固训练1.(2009广雅中学)设数列是等差数列，且，，是数列的前项和，则A．B．C．D．【解析】C．另法：由，，得，，计算知中，，则.【解析】中，，当数列的前项和取得最小值时，.【解析】由知是等差数列，共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则其公差是.【解析】已知两式相减，得5.设数列中，，则通项.【解析】利用迭加法（或迭代法），也可以用归...
