(四)连续零点存在定理VIP免费

函数的连续性与间断函数的连续性与间断图13-24函数连续性与间断点()()byxyx0MM0x0xxxyO()yx()()ayfxOyxxMNy0xx0x()yfx那么，上述函数的连续与间断如何用数学语言来定义呢？0000(),,0,,,.(),0,0.yxxxxxxxxyyxNMMyyfxxNMy时在处是间断的,当经过函数值发生跳跃式变化,即当由有一个增量时函数得到相应的增量且当曲线上的点就沿着曲线趋近于并未趋近于显然有不趋近于零便在函数的图中没有这种现象,而是当时,曲线上点就沿着曲线趋近于点即0000,()00,lim0;lim0,().xxyfxxxyyyyxx可见函数在处连续的特征是当时,即当则函数在处一定间断0000000000()()()().limlim()()0()..xxyfxxxxxyfxyfxxfxyfxxfxyfxxx义：设函数在点及其左右近旁有定义,如果当自变量在处的增量趋近于零时,函数相应的增量也趋近于零即那么,就称函数在点处连续叫作函数的连续点定这一定义说明了连续的本质：当自变量变化微小，函数值相应变化也很微小.0000000(),(),(),lim()()().xxyfxxfxxxxfxfxfxfxx定义;设函数在点及其邻域有定义如果函数当时极限存在且等于它在点处的函数值即那么,就称函数在点处连续0,()yfxx这个定义指出函数在点连续要满足以下三个条件:0(1)()fxx函数在点及其左右近旁有定义;0(2)lim();xxfx存在00(3)lim()().xxfxfx数区间内连续2.函在(a,b)的性下面先介绍函数的左连续与右连续的概念.00()(,],lim()(),(0)lim()(),().xbxbfxabfxfbfbfxfbfxb义设函数在区间内有定义如果左极限存在且等于即若则称函数在点左连续定400(),),lim()(),(0)lim()(),().xaxafxabfxfafafxfafxa设函数在区间[内有定义如果右极限存在且等于即若则称函数在点右连续000000000()().lim()()lim()lim()()xxxxxxfxxfxxfxfxfxfxfx在点处连续的充要条件在点处右连续且同时左连续即1,1()()1,11.xfxfxxxxx作出函数的图形,并讨论函数点-1及点的连续性例4解()(,1],fx分段函数在区间内有定义函数图形如图13-25所示.1010lim()lim1,(1)1,1.xxfxxfx因为而所以函数在点左连续101010101lim()lim1,lim()lim11lim()()1.xxxxxfxxfxfxfxx因为左极限不等于右极限,所以不存在,即函数在处不连续(10)1(1),()1.fffxx但由于所以函数在点右连续1325图例4示意图121121yxO1.间断点下面三个函数在x=1的连续性.21(1)()1xfxx函数,(1)(2)()1,(1)xxfxxx函数11,1(3)()20,1xxfxx函数二、函数的间断点1327(2)图示意图11()yfxxyO1328(3)图示意图1211.5212xyO()yfx1326(1)图示意图12121211xyxxy()1,():fxxfx以上三个函数在都有不连续但产生不连续的原因却各不相同.一般来说,如果函数有下列三种情形之一00(1),xxxx在点的近旁有定义但点处无定义;00(2),lim()xxxxfx虽在点有定义但不存在;000000(3),lim(),lim()();(),()xxxxxxfxfxfxfxxxfx虽在点有定义且存在但则函数在点不连续我们把点称作函数的不连续点或间断点.2.间断点的分类00000(),,()();,(),().xyfxxxfxxfxxxfxxfx义设为函数的一个间断点若当时左右极限均存在,则称为函数的第一类间断点否则即当时,的左右极限中至少有一个不存在则称为函数的第二类间断点定700000000,,(0)(0),lim()(0)(0),.xxfxfxfxxfxxfxfxx特别在第一类间断点中若即存在,则称为可去间断点(此时,()在处可能有定义,也可能无定义);若称为跳跃间断点,(1)(3)1,1xx例如上述例和例中,是可去间断点而在例(2)中是跳跃间断点.例5求下列函数的间断点，并说明其类型.sin,0(1)()tan;0,0xxxfxyxx;(2),01,0(3)()()1,01,0xxxxfxfxxxx;(4)解000(1)()(,),sinlim()lim1,(0)0,lim()(0).xxxfxxfxffxfx函数在内定义且由重要极限知而即00...