第3章 对偶理论VIP免费

第三章线性规划的对偶理论任意线性规划问题都伴随着另一个与之有密切联系的线性规划问题，我们将其中的一个称为原问题，另一个就称为对偶问题．对偶理论深刻揭示了原问题与对偶问题之间的内在联系，在线性规划的理论研究和算法设计中起着重要的作用．例如，成功的线性规划原-对偶内点算法就是基于互补松弛定理而提出来的．3.1线性规划的对偶问题3.1.1对偶问题的提出下面，我们通过一个例子引出线性规划的对偶问题.例3-1某家具厂木器车间生产木门与木窗两种产品.加工木门收入为56元/扇，加工木窗收入30元/扇.生产一扇木门需要木工4小时、油漆工2小时；生产一扇木窗需要木工3小时、油漆工1小时．该车间每日可用木工总工时为120小时，油漆工总工时为50小时．试问车间应如何安排生产才能使每日收入最大？解令该车间每日安排生产木门1y扇、木窗2y扇，则由题意，数学模型为：12121212max5630s.t.431202500,0zyyyyyyyy=++£+£³³(3-1)用图解法或单纯形法可求得最优解为：1215,20,1440yyw***===(元)．即该车间每日安排生产木门15扇、木窗20扇时收入最大，为1440(元)．现在从另一角度来考虑该车间的生产问题．假若有一位个体经营者，手中有一批木器家具生产订单．他想利用该木器车间的木工和油漆工来加工完成他的订单，就要事先考虑付给该车间每个工时的价格．他可以建立一个数学模型来研究如何订价，才能既使木器车间觉得有利可图从而愿意替他加工这批订单、又使自己所付的工时费用总数最少．设1x为付给木工每个工时的价格，2x为付给油漆工每个工时的价格，则该个体经营者的目标函数为每日所付工时总费用最小：12min12050zxx=+．但该个体经营者所付的价格不能太低，至少不能低于该车间生产木门、木窗时所得到的收入，否则该车间觉得无利可图就不会替他加工这批订单．即，1x与2x的取值应满足如下约束条件：12121242563300,0xxxxxx+³+³³³．故，该个体经营者的数学模型应为：12121212min12050s.t.42563300,0zxxxxxxxx=++³+³³³(3-2)解之得：122,24,1440xxz***===．我们将线性规划模型(3-1)和(3-2)称为一对互为对偶的线性规划模型，两者之间有着密切联系也有区别．它们使用了相同的数据，只是这些数据在模型中所处的位置不同，反映所要表达的含义也不同．(3-1)是反映追求木器生产车间收入最大的模型，而(3-2)是寻求个体经营者付给木器生产车间最少的工时费用模型．若将(3-1)称为原问题，则(3-2)就是其对偶问题．可以看出：原问题的价值系数在对偶问题中成为约束条件的右端项，而对偶问题的价值系数成为原问题约束条件的右端项；原问题中第一(二)个不等式的变量系数，在对偶问题中成为决策变量1x(2x)的系数列向量，而对偶问题第一(二)个不等式的变量系数，在原问题中成为变量1y(2y)的系数列向量．3.1.2原问题与对偶问题之间的对偶关系（1）对称形式的对偶关系对称形式下线性规划原问题的一般形式为：11mins.t.,1,2,,0,1,2,,njjjnijjijjzcxaxbimxjn===³=××׳=×××åå(3-3)则其对偶问题的数学模型为：11maxs.t.,1,2,,0,1,2,,miiimijijiibyaycjnyimw===£=××׳=×××åå(3-4)其中12,,,myyy×××为对偶问题(3.1.4)的决策变量，称为对偶变量．若用矩阵形式来表示模型(3-3)和(3-4)，则可更清楚地看出两者之间的对称性．原问题为：mins.t.0zcxAxbxT=³³(3-5)其对偶问题为：maxs.t.0byAycywTT=£³(3-6)其中,,Abc的定义与第一章的定义相同，()12,,,myyyyT=×××．即：原问题求最小化，对偶问题求最大化；原问题的约束为“³”形式，对偶问题的约束为“£”形式；原问题的价值向量c在对偶问题中成为约束的右端项，而对偶问题的价值向量b恰好是原问题约束的右端项；原问题的约束条件左端为Ax，而对偶问题的约束条件左端为AyT．这说明原问题和对偶问题在形式上恰好是对称的，故称为一对对称形式的对偶关系．至于其他形式的LP问题，首先将原问题化成对称形式的原问题，再依照对称形式的对偶关系的定义写出对偶问题．根据这一原则，可以证明：原问题与对偶问题是互为对偶的．对于一般形式的线性规划原问题与对偶问题在数学模型上的对应关系可归纳为表3-1．根据这些对应关系，可由原...