tv高中物理竞赛讲义——微积分初步一：引入【例】问均匀带电的立方体角上一点的电势是中心的几倍。分析：①根据对称性，可知立方体的八个角点电势相等；将原立方体等分为八个等大的小立方体,原立方体的中心正位于八个小立方体角点位置；而根据电势叠加原理，其电势即为八个小立方体角点位置的电势之和，即U1=8U2；②立方体角点的电势与什么有关呢?电荷密度ρ；二立方体的边长a；三立方体的形状；根据点电荷的电势公式U=及量纲知识，可猜想边长为a的立方体角点电势为U==Ckρa2；其中C为常数，只与形状（立方体）及位置（角点）有关，Q是总电量，ρ是电荷密度；其中Q=ρa3③大立方体的角点电势：U0=Ckρa2；小立方体的角点电势：U2=Ckρ（）2=大立方体的中心点电势：U1=8U2=2Ckρa2；即U0=U1【小结】我们发现，对于一个物理问题，其所求的物理量总是与其他已知物理量相关联，或者用数学语言来说，所求的物理量就是其他物理量（或者说是变量）的函数。如果我们能够把这个函数关系写出来，或者将其函数图像画出来，那么定量或定性地理解物理量的变化情况，帮助我们解决物理问题。二：导数㈠物理量的变化率我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如v-t图像，求其斜率可以得出加速度a，求其面积可以得出位移s，而斜率和面积是几何意义上的微积分。我们知道，过v-t图像中某个点作出切线，其斜率即a=.下面我们从代数上考察物理量的变化率：【例】若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为上s=3t+2t2,试求其t时刻的速度的表达式。（所有物理量都用国际制单位，以下同）分析：我们知道，公式v=一般是求△t时间内的平均速度，当△t取很小很小，才可近似处理成瞬时速度。s(t)=3t+2t2s(t+△t)=3(t+△t)+2(t+△t)2△s=s(t+△t)-s(t)=3(t+△t)+2(t+△t)2-3t-2t2=3△t+4t△t+2△t2v===3+4t+2△t当△t取很小，小到跟3+4t相比忽略不计时，v=3+4t即为t时刻的瞬时速度。【练】假设一个闭合线圈匝数为100匝，其磁通量为φ=3t+4t3,求感应电动势随时间t的函数关系。【小结】回顾我们求物理量y=f(t)的变化率瞬时值z的步骤：①写出t时刻y0=f(t)的函数表达式；②写出t+△t时刻y1=f(t+△t)的函数表达式；③求出△y=y1-y0=f(t+△t)-f(t)；④求出z==；⑤注意△t取很小，小到与有限值相比可以忽略不计。㈡无穷小当△t取很小时，可以用V=求瞬时速度，也可用i=求瞬时电流,用ε=求瞬时感应电动势。下面，我们来理解△t：△t是很小的不为零的正数，它小到什么程度呢？可以说，对于我们任意给定一个不为零的正数ε，都比△t大，即：ε>△t。或者从动态的角度来看，给定一段时间t，我们进行如下操作：第一次，我们把时间段平均分为2段，每段时间△t=；第二次，我们把时间段平均分为3段，每段时间△t=；第三次，我们把时间段平均分为4段，每段时间△t=；…………第N次，我们把时间段平均分为N+1段，每段时间△t=；…………一直这样进行下去，我们知道，△t越来越小，虽然它不为零，但永远逼近零，我们称它为无穷小，记为△t→0。或者，用数学形式表示为△t=0。其中“”表示极限，意思是△t的极限值为0。常规计算：①（△t+C）=C②C·△t=0③f(△t)=f(0)④f(t+△t)=f(t)⑤=1『附录』常用等价无穷小关系（）①；②；③；④；⑤㈢导数前面我们用了极限“”的表示方法，那么物理量y的变化率的瞬时值z可以写成:z=,并简记为z=,称为物理量y函数对时间变量t的导数。物理上经常用某物理量的变化率来定义或求解另一物理量，如v=、a=、i=、ε=N等，甚至不限于对时间求导，如F=、Ex=、ρ=等。这个dt（也可以是dx、dv、dm等）其实相当于微元法中的时间微元△t，当然每次这样用来求物理量变化率的瞬时值太繁琐了，毕竟微元法只是草创时期的微积分。如果能把常见导数计算的基本规律弄懂，那么我们可以简单快速地求解物理量变化率的瞬时值（导数）了。同学们可以课后推导以下公式：⑴导数的四则运算①=±③=②=·v+u·⑵常见函数的导数①=0(C为常数)；④=-sint；②=ntn-1(n为实数)；⑤=et；③=cost；⑶复合函数的导数在数学上，把u=u(v(t))称为复合函数，即以函数v(t)为u(x)的自变量。=·复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中...
