湖北省部分重点中学2011届高三第一次联考理科数学试卷参考答案及评分细则一、选择题题号12345678910答案DCCDBCAABB二、填空题11．8312．13．214．15．25，17，8三、解答题16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）.…………………………………………………………………2分..…………………………………………4分由≤x≤，得≤x+≤，于是≤≤2.即f(x)的取值范围为[，2]．……………………………………………8分（Ⅱ）∵，即．………………………10分∴．……………………………………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有9件正品.∴第一天通过检查的概率为.……………………………………4分（Ⅱ）两天的所得分的可取值分别为0，1，2.…………………………………5分第二天通过检查的概率为，………………………………………7分∵,.…………10分∴.……………………………………………12分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）直三棱柱，底面三边长.，∴.………………………………………………………2分又，且，∴⊥平面.…………………………………4分又平面，∴..…………………………………………………………5分（Ⅱ）取中点，过作于，连接.是中点，∴.又平面，∴平面.又，∴.∴是二面角的平面角.………………………………………………………8分在中，求得，.∴.∴二面角的大小为.……………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得，，..∴所求椭圆的方程为.………………………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设、，.联立消元，得.……………………………………………8分∴.从而.当时，中点P就是原点.时，且.则，代入.因为，所以.…………………………………………10分当直线的斜率不存在时，线段MN的中点为.所以，所求轨迹方程为.……………………………………12分20．(本小题满分13分)解：（Ⅰ），，，.………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）推测数列的通项公式为.…………………………………………6分下面用数学归纳法证明如下：①当时，从B杆移到A杆上只有一种方法,即，这时成立；………7分②假设当时，成立.则当时，将B杆上的个碟片看做由个碟片和最底层1张碟片组成的，由假设可知，将B杆上的个碟片移到C杆上有种方法，再将最底层1张碟片移到A杆上有1种移法，最后将C杆上的个碟片移到A杆上(此时底层有一张最大的碟片)又有种移动方法，故从B杆上的个碟片移到A杆上共有种移动方法.所以当时成立.由①②可知数列的通项公式是.……………………………9分（说明：也可由递推式，构造等比数列求解）（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，，所以=.………………10分==++…+=.………………………………………………………………………11分因为函数在区间上是增函数，.………………………………………………………12分又，.所以．…………………………………………………………………13分21．(本小题满分14分)解：（Ⅰ），，.………………2分.由，得；由，得.的单调递减区间是，单调递增区间是.………………………4分（Ⅱ）∵，∴，∴.欲证，只需证明，即只需证.记，则.当时，，∴在上是增函数.∴，∴，即.∴.故结论成立．………………………………………………………8分（Ⅲ）由题意知.问题转化为在上解的个数.…10分.由，得；由，得.在区间上单调递增，在区间上单调递减.又，所以在上有2个解.即与对应曲线的交点个数是2.………………………………………14分
