2.3.1数学归纳法高中数学请问：以上三个结论正确吗？为什么?得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点问题1：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。问题3：教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格”问题2：三角形的内角和为180°,凸四边形的内角和为2•180°,凸五边形的内角和为3•180°,于是有:凸n边形的内角和为(n-2)•180°。共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2是用的不完全归纳法，问题3是用的完全归纳法。1、错2、对3、对提出问题对于生活，生产中的实际问题，得出结论的正确性，应接受检验；对于数学问题，应寻求数学证明。上一页下一页归纳法不完全归纳法完全归纳法1、归纳法：对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法。概念学习有利于发现问题，但结论不一定正确。结论可靠，但一一核对困难。引例演示(1)第一张牌被推倒；多米诺成功的关键：于是,我们可以下结论：多米诺骨牌会全部倒下。引例(2)假如某一张牌倒下,则它的后一张牌必定倒下。演示(1)当n＝1时等式成立；(2)假设当n＝k时等式成立,即ak=a1+(k－1)d,于是,我们可以下结论：等差数列的通项公式an=a1+(n－1)d对任何n∈N*都成立．an=a1+(n－1)d（n∈N*）引例类比多米诺骨牌过程,证明等差数列通项公式。则ak+1=ak+d=a1+(k-1)d+d=a1+[(k+1)-1]d,即n＝k＋1时等式也成立．上一页下一页先证明当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立，然后假设n=k(kN,k≥n∈0)时命题成立,并证明当n=k+1时命题也成立，那么就证明这个命题成立，这种证明方法叫做数学归纳法.新课学习2、数学归纳法定义①验证当n=n0（n0为n允许取值的第一个值）时命题成立;②假设当n=k(k∈N,k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立；根据①②,命题对于从n0开始的所有自然数n都成立。上一页下一页新课学习3、数学归纳法证明步骤（归纳奠基）（归纳推理）两个步骤、一个结论1＝1＝121＋3＝4＝221＋3＋5＝9＝321＋3＋5＋7＝16＝42……例1.由下表1＋3＋5＋…＋（2n1）＝n2，(nN*)得出结论:_________________________________上一页下一页新课学习（2）假设当n=k(kN,k≥1)∈时等式成立,即1+3+5+……+(2k-1)=k2，当n=k+1时：1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]所以当n=k+1时等式也成立；由（1）和（2）可知，对任何nN∈等式都成立。k2+2k+1==(k+1)2证明:（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立；上一页下一页例1、用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2（n∈N*).第（2）步中“当n=k+1时”的证明可否改换为：1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)==(k+1)2,为什么？2)]12(1)[1kk（上一页下一页新课学习例2.下面是某同学用数学归纳法证明命题的过程.你认为他的证法正确吗?为什么(1)当n=1时,左边=,右边=(2)假设n=k时命题成立即那么n=k+1时,左边=右边,即n=k+1时,命题也成立.212111)1(1321211nnnn211111)1(211)2111()3121()211(kkkkk1111223(1)1kkkk根据(1)和(2)可知,等式对于任何nN*∈都成立。在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑递推关系,造成推理无效.1、两个步骤，一个结论。第一步是是命题论证的基础，称之为归纳基础；第二步是是推理的依据，是判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中“假设n=k时成立”称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立);最后是总体结论，也不可少。2、在第二步的证明中必须用到归纳假设，否则就不是数学归纳法了。3、数学归纳法只适用于和自然数有关的命题。是演绎推理。上一页下一页总结提炼4、用数学归纳法注意：1、用数学归纳法证明：1+2+22+…+2n-1=2n-1(nN*)∈证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立。根据(1)和(2)可知,对于任何nN*∈等式都成立。(2)假设当n=k时,等式成立，就是1+2+22+…+2k-1=2k-11+2+22+…+2k-1+2k=2k-1+2k=2×2...
