数学分析第十六章 多元函数的极限与连续VIP免费

多元函数微积分16.多元函数的极限与连续17.多元函数微分学18.隐函数定理及其应用19.含参量积分20.曲线积分21.重积分22.曲面积分第16章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数（了解平面点集的有关概念、平面上的完备性定理、多元函数的概念）一、平面点集坐标平面……平面点集E={(x,y)|(x,y)满足的条件}邻域U(A,δ)={(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)2<δ2}U(A,δ)={(x,y)||x-x0|<δ,|y-y0|<δ}空心邻域U0(A,δ)={(x,y)|0<(x-x0)2+(y-y0)2<δ2}U(A,δ)={(x,y)||x-x0|<δ,|y-y0|<δ,(x,y)≠(x0,y0)}（一）下面利用邻域描述点和点集的关系(ⅰ)内点U(A)E(ⅱ)外点U(A)E=(ⅲ)界点U(A)E≠且U(A)EC≠点A∈R2和点集ER2必有以下三种关系之一：若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E则称P为E的边界点.的外点,显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.E的边界点的全体称为E的边界,记作E;(ⅰ)聚点U0(A)E≠点A近旁是否有点集E中无穷多点构成另一种关系：聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为E的边界点)(ⅱ)孤立点A∈E且U0(A)E=练习1:问A是E的内点?外点?(1)设),0,0(},),,(,),,(),1,1{(\1121212AREnn问(2)设},),,(,),,(),1,1{(112121nnE)0,1(A是E的聚点?孤立点?)1,1(B呢?（二）一些重要的平面点集闭集E的所有聚点∈E开域连通的开集闭域开域连同边界开集intE=E有界点集、无界点集点集的直径三角不等式区域开域、闭域，或开域连同部分边界).,(sup)(21,21PPEdPP).,(),(),(323121PPPPPP练习2:则原点是K的点(1)设},410|),{(2222yxyxyxK和孤立点、界点，但不是聚；圆周上的点是K的点界点、聚，但不属于K；K是开域、是闭域，有界集。不也不是(2)求下列平面点集的聚点集合},10|),{()i(22yxyxE},,1,01,0|),{()ii(212121是无理数rrrrrrF},|),{()iii(11是正整数nGnn}.,|),{()iv(是整数nmnmH二、R2上的完备性定理R2上的完备性定理是二元函数极限理论的基础。为此，先给出平面点列的收敛性概念。定义1设2RPn}{为平面点列，20RP为一固定点.若,0,0N使当Nn时，有),,(0PUPn则称点列收敛于,0P记作,lim0PPnn}{nP或.,nPPn0点列极限的两种等价形式：.,0)iinn,lim)i0xxnn.lim0yynn定理16.1(柯西准则)平面点列收敛的充要条件是：,0,0N使当Nn时，对一切.),(pnnPP}{nP0p有定理16.2(闭域套定理)设是,,2,1,)i(1nDDnn.,0)()ii(nDddnn}{nD2R中的闭域列，满足则存在唯一的点.,,,210nDPn课堂练习：P92:1(1)(3)(6)作业：P92:1(7),3,5定理16.3(聚点定理)设2RE为有界无限点集，则在2RE中至少有一个聚点。推论有界无限点列必存在收敛子列.knP2RPn}{定理16.4(有限覆盖定理)设为一有界闭域，为一开域族，它覆盖了D2RD}{(即}{D),则在中必存在有限个开域}{,,,,n21它们同样覆盖了D(即}{D)。推广：将定理16.4中的改为有界闭集，而D}{D为一族开集，此时定理依然成立。三、二元函数定义2设平面点集,2RD若按照某种对应法则Df,中每一点),(yxP都有唯一确定的实数z为定义在D上的二元函数，记作,,:zPRDff为与之对应，则称Df的定义域,…函数值,…值域,…自变量,…因变量。为方便计，二元函数也记作,),(),,(Dyxyxfz或.),(DPPfz便是二元函数}),(),,(|),,{(DyxyxfzzyxS三维欧氏空间3R中的点集f的图像。例2.yxz52例3.221yxz例4.xyz例5].[22yxz若二元函数的值域是有界数集，则称该函数为有界函数。否则称为无界函数。练习3:描绘下列函数图象2232.1yxz222.2yxz222.3yxz四、n元函数设点集nRE若按照某种对应法则,f使每一点ExxxPn),,,(21都有唯一确定的实数y为定义在E上的n元函数，记作.,:yPREff与之对应，则称n元函数也记作,),,,(),,,,(Exxxxxxfznn2121或.),(EPPfz课堂练习：P92:4,6(1)(3);P93:8(1)(4)(7)作业：P93:8(5)(10)小结：1、掌握平面点集的有关概念；2、了解平面上的完备性...