向量的坐标表示及其运算VIP专享VIP免费

点A(x,y)对*位置向量OA=xi+yj唯一对应■*!a=(x,y)向量的坐标表示及其运算(第一课时)学习目标：1、了解平面向量的正交分解及其坐标表示，理解平面向量的坐标概念，掌握向量的坐标运算。2、通过向量的几何表示、字母表示和坐标表示之间转化，体现向量的几何与代数的双重属性。重点难点向量的正交分解、坐标表示。教学过程一、概念新授1、向量的坐标表示平面内的任一向量a可通过研究其相等的位置向量来实现。位置向量即为起点为原点的向量，如图OA=a。在平面直角坐标系中，与x轴、y轴方向相同的两个单位向量叫做基►—>本单位向量，记作i和j。平面直角坐标系的点A有唯一的有序实数对(x,y)对应，它在X、y轴上的投影分别为M、N，则OA=0M+ON，又因为OM=xi，ON=yj，则OA=^i+工乙这个和式称为、勺线性组合。这种表示方法叫做向量的正交分解。因此与所有与OA相等的a=xi+yj=(x,y即为向量^的坐标。f说明(1)位置向量对应的相等的向量有无数个，这无数个向量都可以用位置向量的坐标表示，而位置向量与终点坐标之间是一一对应的。-(2)向量的两种表示：正交分解a=xi+yj，坐标表示a=(x,y)，这里的x、y是位置向量终点的坐标。(3)特殊向量的坐标：i=(1,0)，j=(0,1)，0=(0,0)。(4)两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等。2、向量运算的坐标表示〜x(1a土b=(X1土S'yi土叮；2)右a=(九X］，3Ia112+yi2；41/a的单位向量ao=Gia=(肩x12+y21终点减去始即为两点间距离公式。a=SW'，=(X2'叮，则若PS*、Q(x2,叮，则PQ=(X2-X1，y2-卩LPQI=(X2—X])2+(y2—y1)2o二、例题精讲例1课本P56例1变式：(1)求出a—3b的坐标；(2)求出a—3b的单位向量c的坐标。0解：略注意：1、向量坐标有两种求法，1)找位置向量的终点；2)佛点间的向量。2、求a的单位向量，先求a的模，再将每个坐标除以模即可。例2.课本P56例2-变式：若A、B、C是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D的坐标。解：设D(x,y)，I—1—x=—51)若ABCD是平行四边形，则AB=DC，则仁,，则D(4,2)；〔3-y=12)若ACBD是平行四边形，则AC=DB，解得D(0,0)；3)若ABDC是平行四边形，则AB=CD，解得D(—6,4)。注意：1、原题中平行四边形ABCD中字母的顺序是确定的，此时只有一解，而变式中是不确定的，因此有三解。—>—»2、利用平行四边形中的存在向量相等求解顶点的坐标。1+3t<02+3t>0，方程无解，例3.已知A(l,2)、B(4,5),且OP=OA+tAB,(1)当t为何值时，点P在x轴上；变式：点P在第二象限上。(2)OABP是否构成平行四边形厂为什么？—解：(1)OP=(1+31,2+3t)，知2+3t=0，t=-3;⑵假设OABP能构成三角形，则OP=AB=(3,3)，不能构成平行四边形。(备用)例4.A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),若CM=3CA,CN=2CB,求MN、M、N的坐标。解：CM=3CA=(3,24),CN=2CB=(12,6)，则MN=CN-CM=(9,18),OM二OC+CM=(0,20),_ON=OC+CN=(9,2),即M(0,20)、N(9,2)。注意：也可设M(x,y)，利用向量相等即对应坐标相同的构建方程组来求解M、N坐标。三、课堂小结向量的正交分解和坐标表示、向量运算的坐标表示课后反馈练习册P32A组/1~4一课一练P508.1(1)即（y2）=X■（y），-所以彳11x=Xx2.1，则xy=x（九y）=（九x）y=xy。=Xy1211-y若"Iy2=x2x则T=xy2yx—2-xyx=九x21，y=九y若xiy2=xyi=0设xi则y2向量的坐标表示及其运算（第二课时）学习目标1、掌握向量平行的充要条件及其应用；2、了解有向线段的定比分点的坐标公式，掌握线段的中点公式、三角形的重心坐标重点难点向量平行的充要条件及其应用，定比分点坐标公式的推导教学过程一、概念复习向量的正交分解及坐标表示二、概念新授例1：（课本P57例5）已知a、b为两个非零向量，且a=（x，y）,b=（x,y）,1122求证：a/b的充要条件是xy十xyo_1221证：（1）必要性—►—►因为两个非零向量a//b的充要条件是存在非零实数九,使得b=Xa,2）充分性所以b=Xa，因止匕a//b；所以a=（0,yi），b=（o,y2），显然a//b；2）设y亍0，则x岂，y2=0，W，所以a=（x,0），b=*,0），显然a//b。由（1）（2）可知a//b的充要条件是xy=xy。1221说明：a、b为两个非零向量,(1)a〃bo存在非零实数九，使bJaoX1y2=x2yi。(交叉相乘相等)(2)a//bu二=£。(对应坐标成比例)xy11例2：已知債皮=i-2j,BC=i+mj,求使A、B、C...