线段和差最值的存在性问题解题策略专题攻略两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）.三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）.两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长.如图3,PA与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P'.解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题.图1图2图3例题解析与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴连结BC，那么在△PBC中，PB+PC总是大于BC的.如图1-3,当点P落在BC上时，PB+PC最小，因此PA+PC最小，△PAC的周长也最小.例❷如图，抛物线y=1x2-4x+4与y轴交于点A,B是0A的中点.一个动点G从点B出发，先经过2X轴上的点M,再经过抛物线对称轴上的点N,然后返回到点A.如果动点G走过的路程最短，请找出点M、N的位置，并求最短路程.H例❶如图1T,抛物线y=X2—2X—3与X轴交于A、B两点,=10,即点G走过的最短路程为10.根据相似比y=-9-*8X*2与y轴交于点A，顶点为B点叫轴上的一个动点，求例❸如图3-1,抛物线【解析】如图2-2,按照“台球两次碰壁”的模型，作点A关于抛物线的对称轴对称的点A，,作点B关于X轴对称的点B',连结A，B，与X轴交于点M,与抛物线的对称轴交于点N.在RtAAA，B，中，AA'=8,ABZ=6,所以A，B‘可以计算得到0M=8,MH=4,NH=1.所以M(8,0),339线段PA与PB中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出相应的点P的坐标.【解析】题目读起来像绕口令，其实就是求|PA—PB|的最小值与最大值.由抛物线的解析式可以得到A(0,2),B(3,6).设P(x,0).绝对值|PA—PB|的最小值当然是0了，此时PA=PB,点P在AB的垂直平分线上(如图3-2).解方程X2+22=(X—3)2+62，得x=41.此时P(41,0).66在厶PAB中，根据两边之差小于第三边，那么|PA—PB|总是小于AB了.如图3-3,当点P在BA的延长线上时，|PA—PB|取得最大值，最大值AB=5.此时P(-3,0).N(4,1)x例❻如图6-1,最小？请说明理由.0）、F（a+1,0）,求a为何值时，四边形ABEF周这道题目应用了两个典型的最值结论：两点之间，线段最图4-2例❺如图5-1,菱形ABCD中，ZA=60°,AB=3,0A、边CD.0B和0A上的动点，求PE+PF的最小值.图4-40B的半径分别为2和1,P、E、F分别是例❹如图4-1,菱形ABCD中，AB=2,ZA=120。，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点，求PK+QK的最小值.图4-1【解析】如图4-2,点Q关于直线BD的对称点为Q，,在△KPQ'中，PK+QK总是大于PQZ的.如图4-3，当点K落在PQZ上时，PK+QK的最小值为PQZ.如图4-4,PQZ的最小值为Q‘H，Q，H就是菱形ABCD的高，QzH=Q3•【解析】E、F、P三个点都不确定，怎么办？BE=1,AF=2是确定的，那么我们可以求PB+PA—3的最小值，先求PB+PA的最小值（如图5-2）.如图5-3,PB+PA的最小值为AB‘,AB'=6.所以PE+PF的最小值等于3.垂线段最图4-【解析】在四边形ABEF中，AB、条线段有公共端点.如图6-2,将线段BF向左平移两个单位，得到线段ME.如图6-3，作点A关于x轴的对称点A，，MAZ与x轴的交点E，满足AE+ME最小.由AA，OEs^BHF,得OE=HF.解方程a=67a+2），得a二4.-43例❼如图7-1，△ABC中，ZACB=90°，AC=2,BC=1.点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，当点A在x轴上运动时，点C也随之在y轴上运动.在整个运动过程中，求点B到原点的最大距离.【解析】如果把0B放在某一个三角形中，这个三角形的另外两条边的大小是确定的，那么根据两边之和大于第三边，可知第三边OB的最大值就是另两边的和.显然△OBC是不符合条件的，因为0C边的大小不确定.如图7-2，如果选AC的中点D,那么BD、0D都是定值，OD=1,BD=Q.在厶OBD中，总是有OBVOD+BD.如图7-3，当点D落在OB上时，OB最大，最大值为+1.先把这两条线段经过平移，使得X图7-图7-例❽如图8-1,已知A(—2,0)、B(4,0)、D(—5,3吕.设F为线段BD上一点(不含端点)，连结AF,—动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止.当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少?图8-1【解析】...
