第十章 结构动力学5VIP专享VIP免费

12lldxxYxmtdxvxmT022202)()()(cos21)(21§10-6近似法求自振频率1、能量法求第一频率——Rayleigh法根据能量守恒定律，当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的动能T和应变能U之和应等于常数。※根据简谐振动的特点可知：在体系通过静力平衡位置的瞬间，速度最大（动能具有最大值），动位移为零（应变能为零）；当体系达到最大振幅的瞬间（变形能最大），速度为零（动能为零）。对这两个特定时刻，根据能量守恒定律得：Umax=Tmaxω※求Umax，TmaxlldxxYEItdxxyEIU0220222)]([)(sin2121※求频率如梁上还有集中质量mi，位移幅值)cos()()sin()(),(txYyvtxYtxy设：.ldxxYxmT022max)()(21ldxxYEIU02max)]([21Yi为集中质量mi处的位移幅值。liilYmdxxYmdxxYEI022022)]([)]([22020[()][()]llEIYxdxmYxdx3※假设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点：1、必须满足运动边界条件：（铰支端：Y=0；固定端：Y=0，Y´=0）尽量满足弯矩边界条件，以减小误差。剪力边界条件可不计。2、所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近；如正好与第n主振型相似，则可求的ωn的准确解。但主振型通常是未知的，只能假定一近似的振型曲线，得到频率的近似值。由于假定高频率的振型困难，计算高频率误差较大。故Rayleigh法主要用于求ω1的近似解。3、相应于第一频率所设的振型曲线，应当是结构比较容易出现的变形形式。曲率小，拐点少。4、通常可取结构在某个静荷载q（x）（如自重）作用下的弹性曲线作为Y（x）的近似表达式。此时应变能可用相应荷载q（x）所作的功来代替，即ldxxYxqU0)()(2120202)]([)()(iillYmdxxYmdxxYxq4lldxxYmdxxYEI02022)]([)]([2）假设均布荷载q作用下的挠度曲线作为Y(x))2(24)(323xlxlxEIqxY963031224520202120)()(lmEIlqdxxYmdxxqYEIqllmEIl287.9例12试求等截面简支梁的第一频率。1）假设位移形状函数为抛物线)()(xlxxYlmEIyx满足边界条件且与第一振型相近60/252lmEIl42120lmEImEIl295.103）假设lxaxYsin)(442222324lmEIlamlEIa第一振型的精确解。精确解mEIl28696.95xh0l例求楔形悬臂梁的自振频率。设梁截面宽度为1，高度为h=h0x/l。解：单位长度的质量：设位移形状函数：2)1()(lxaxY满足边界条件：0)(,0)(lYlYlldxxYmdxxYEI02022)]([)]([ElhlEh204202581.1,25Rayleigh法所得频率的近似解总是比精确解偏高。其原因是假设了一振型曲线代替实际振型曲线，迫使梁按照这种假设的形状振动，相当于给梁加上了某种约束，增大了梁的刚度，致使频率偏高。当所设振型越接近于真实，则相当于对体系施加的约束越小，求得的频率越接近于真实，即偏高量越小。30121lxhIlxhm0截面惯性矩：相比误差为3%与精确解Elh20534.161、假设多个近似振型n21,都满足前述两个条件。2、将它们进行线性组合（a1、a2、·········、an是待定常数）nnaaaxY┉2211)(3、确定待定常数的准则是：获得最佳的线性组合，这样的Y（x）代入频率计算公式中得到的ω2的值虽仍比精确解偏高，但对所有的a1，a2，…，an的可能组合，确实获得了最小的ω2值。所选的a1，a2，…，an使ω2获得最小值的条件是),,2,1(,02niai这是以a1，a2，…，an为未知量的n个奇次线性代数方程。令其系数行列式等于零，得到频率方程，可以解出原体系最低n阶频率来。阶次越低往往越准。为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所附加的约束，Ritz提出了改进方法：8例：用Rayleigh—Ritz法求等截面悬臂梁的最初几个频率。xlEIm解：悬臂梁的位移边界条件为：（在左端）Y’=0Y=032212211xaxaaaY设：只取第一项2121x代入：ljiijljiijdxmmdxEIk00,5,451111lmmEIlk代入频率方程：0][][2mkmEIllmEIlmEIl2142521472.4,20054...