第九章第六节1．(2013·北京高考)双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是()A．m>B．m≥1C．m>1D．m>2解析：选C该双曲线离心率e＝，由已知＞，故m＞1，故选C.2．(2014·广东六校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－5,0)和C(5,0)，顶点B在双曲线－＝1上，则为()A.B.C.D.解析：选C设△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，由正弦定理得＝，由双曲线的标准方程和定义可知，A，C是双曲线的焦点，且b＝10，|c－a|＝8.所以＝＝.故选C.3．(2014·杭州质检)设F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第二象限的交点为P，若双曲线C的离心率为5，则cos∠PF2F1等于()A.B.C.D.解析：选C据题意可知PF1⊥PF2，设|PF1|＝n，|PF2|＝m，又由双曲线定义知m－n＝2a①；由勾股定理可得m2＋n2＝4c2②；又由离心率e＝＝5③，由①②③解得m＝8a，故cos∠PF2F1＝＝＝＝.故选C.4．(2011·山东高考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：选A由题意得－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，又圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，半径为2，圆心坐标为(3,0)，所以a2＋b2＝32＝9，且＝2，解得a2＝5，b2＝4.所以该双曲线的方程为－＝1.故选A.5．(2014·皖南八校联考)设F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使PF1·PF2＝0，且△F1PF2的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为()A.B.C．2D．5解析：选D设|PF1|＝m，|PF2|＝n，且m>n，|F1F2|＝2c，由题可知△F1PF2为直角三角形且F1F2为斜边．由双曲线的性质和勾股定理得由①③得代入②得(2c－2a)2＋(2c－4a)2＝4c2，整理得c2－6ac＋5a2＝0，两边同时除以a2，得e2－6e＋5＝0，解得e＝5或e＝1.又e＞1，所以e＝5.故选D.6．(2014·太原模拟)设F1、F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()A．3x±4y＝0B．3x±5y＝0C．4x±3y＝0D．5x±4y＝0解析：选C设线段PF1的中点为M，由于|PF2|＝|F1F2|，故F2M⊥PF1，即|F2M|＝2a，在Rt△F1F2M中，|F1M|＝＝2b，故|PF1|＝4b，根据双曲线的定义得4b－2c＝2a.所以2b－a＝c，所以(2b－a)2＝a2＋b2，化简得3b2－4ab＝0，所以3b＝4a，故双曲线的渐近线方程是y＝x，即4x±3y＝0.选C.7．(2014·苏锡常镇调研)若双曲线x2－＝1(a＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于，则此双曲线方程为______．解析：x2－＝1双曲线x2－＝1(a＞0)的一个焦点(，0)到一条渐近线－y＝0的距离为＝，解得a＝3，故此双曲线方程为x2－＝1.8．(2014·陕西五校模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是______．解析：(，＋∞)双曲线的渐近线方程为y＝±x.若双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则＞2，从而＞4.所以＞4，解得e2＝＞5，故e＞.9．(2014·茂名质检)设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．解析：由条件知c＝5，设过点F平行于一条渐近线的直线方程为y＝(x－5)，即4x－3y－20＝0，联立直线与双曲线方程，求得yB＝－，所以S＝×(5－3)×＝.10．(2013·湖南高考)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．解析：不妨设|PF1|＞|PF2|，由得由2a＜2c，得∠PF1F2＝30°，由余弦定理得cos30°＝，整理得c2＋3a2－2ac＝0，所以e2－2e＋3＝0，解得e＝.11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1·MF2＝0；(3)求△F1MF2的面积．(1)解：由e＝知a＝b.故设双曲线方程为x2－y2＝λ. 双曲线过点P(4，－)，∴16－10＝λ，解得λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a＝b...
