第13章无穷级数这章基本上不需要上册的知识。想及格吗？绝不能放过这一章！凡是以后要经常用的例子，我们提醒“记住”。第1节常数项级数的概念与性质1.1基本概念定义1.1给定一个数列，用“+”号形式地连起来构成的表达式(1.1)称为常数项无穷级数，简称级数，其中每个都称为级数(1.1)的一项，称为级数(1.1)的通项（一般项）．级数（1.1）只能是形式的，因为我们不懂无穷个数相加；其中是指，因为不会往跑。作级数(1.1)的前项之和，(1.2)称为级数(1.1)的部分和．它们构成一个新数列，称为级数(1.1)的部分和数列．定义1.2设是级数（1.1）的部分和数列。．题目：给定了级数（1.1），（1）断定级数（1.1）是收敛的还是发散的——称为审敛；（2）求级数（1.1）的和——称为求和。解法：（i）求级数（1.1）的部分和数列；（ii）如果发散，则级数（1.1）发散，如果收敛，则级数（1.1）收敛，级数（1.1）的和。“敛散性”=“收敛性”=“是收敛的还是发散的”．-269-高等数学设级数的部分和，因为奇数时，为偶数时，故不存在极限，级数发散．思考题:1.怎样讨论级数的收敛性?2.数项级数与数列之间有怎样的关系?-270-第13章无穷级数【例1.1】讨论等比级数（也称为几何级数）（）的敛散性．解若，则部分和为(1)当时，，故，等比级数收敛，且和为；(2)当时，，从而，等比级数发散．(3)当时，部分和为或无极限，等比级数发散．综合有．-271-高等数学【例1.2】证明调和级数是发散的.证1要证发散，即证其部分和数列发散．用反证法证明．若收敛即存在，设，则．由于，从而有，即，此结论说明假设不真，故发散．证2仍证其部分和数列发散．注意到第3章中已得到的不等式:因此有．又，从而有由于，得，故发散．必须记住一百年的例子：1．发散；2．调和级数发散；3．。-272-第13章无穷级数1.2基本性质固定，如果在级数(1.1)去掉前项，则得一级数:，(1.3)级数(1.3)叫做级数(1.1)的项后的余项．级数(1.1)的余项(1.3)的前项部分和，所以．结论：级数(1.3)收敛级数(1.1)收敛；收敛时，即，其中是（1.1）的和，是（1.3）的和．性质1.1级数中去掉或加上有限多项后不改变级数的收敛性．当级数收敛时，其部分和，于是固定将作为级数和的近似值时，其误差为:．推论：级数的收敛性与前面固定的一大段无关，只决定于它的尾巴。与极限运算的线性性质相似，收敛级数有下列运算性质:（经）性质1.2(1)若级数收敛，其和为，则对任意常数，级数也收敛，且其和为．(2)设有级数，分别收敛于与，即，，则级数也收敛，且其和为．证(1)设与的部分和分别为，，则,于是，故级数收敛且和为．(2)设级数，的部分和分别为，，则的部分和-273-高等数学，故，这表明级数收敛且其和为．由上面的推导很容易得到如下重要结论：级数的每一项同乘一个不为零的常数后，其收敛性不变；三个级数，如果其二收敛则第三个也收敛（不可能只有一个发散）。思考题:3.若收敛，发散，问收敛还是发散?又如果所给两个级数均发散，那么是否必发散?性质1.3将收敛级数的项任意加括号之后所成新级数仍收敛，且其和不变．证设有收敛级数，任意加括号后所成的级数为，用表示该新级数的前项之和，则显然数列是原级数部分和的子数列．因此，由收敛，则其子数列也收敛，且两者极限相同，故结论得证．性质1.3的逆命题不成立，即加括号之后的级数收敛不能保证原级数收敛．例如，级数收敛于零，但去括号之后所得级数却是发散的．性质1.3的逆否命题是推论1.1如果级数加括号之后所形成的级数发散，则原级数发散．性质1.4级数收敛的必要条件是它的一般项趋于零，即．证对于级数，它的一般项与部分和之间有关系式．假设该级数收敛于和，则．性质1.4的逆否命题是：推论1.2如果级数的一般项不趋于零即，则此级数发散．性质1.4最常用的是它的逆否命题推论1.2（用来断定级数发散）。-274-第13章无穷级数思考题:4.对级数的一般项,若，则此级数收敛吗?（不一定。例如调和级数。）*因级数的收敛是由部分和数列的收敛来定义的，因此由判断数列极限的Cauchy收敛原理，可得到如下判别级数收敛性的Cauchy收敛原理．*定理1.1*(Cauchy收敛原理)级数收敛的充分必要条件是:，使得当时，，总...
