电脑桌面
添加小米粒文库到电脑桌面
安装后可以在桌面快捷访问

齐民友高数下册上课第13章01常数项级数概念及性质(1)VIP免费

齐民友高数下册上课第13章01常数项级数概念及性质(1)_第1页
1/8
齐民友高数下册上课第13章01常数项级数概念及性质(1)_第2页
2/8
齐民友高数下册上课第13章01常数项级数概念及性质(1)_第3页
3/8
第13章无穷级数这章基本上不需要上册的知识。想及格吗?绝不能放过这一章!凡是以后要经常用的例子,我们提醒“记住”。第1节常数项级数的概念与性质1.1基本概念定义1.1给定一个数列,用“+”号形式地连起来构成的表达式(1.1)称为常数项无穷级数,简称级数,其中每个都称为级数(1.1)的一项,称为级数(1.1)的通项(一般项).级数(1.1)只能是形式的,因为我们不懂无穷个数相加;其中是指,因为不会往跑。作级数(1.1)的前项之和,(1.2)称为级数(1.1)的部分和.它们构成一个新数列,称为级数(1.1)的部分和数列.定义1.2设是级数(1.1)的部分和数列。.题目:给定了级数(1.1),(1)断定级数(1.1)是收敛的还是发散的——称为审敛;(2)求级数(1.1)的和——称为求和。解法:(i)求级数(1.1)的部分和数列;(ii)如果发散,则级数(1.1)发散,如果收敛,则级数(1.1)收敛,级数(1.1)的和。“敛散性”=“收敛性”=“是收敛的还是发散的”.-269-高等数学设级数的部分和,因为奇数时,为偶数时,故不存在极限,级数发散.思考题:1.怎样讨论级数的收敛性?2.数项级数与数列之间有怎样的关系?-270-第13章无穷级数【例1.1】讨论等比级数(也称为几何级数)()的敛散性.解若,则部分和为(1)当时,,故,等比级数收敛,且和为;(2)当时,,从而,等比级数发散.(3)当时,部分和为或无极限,等比级数发散.综合有.-271-高等数学【例1.2】证明调和级数是发散的.证1要证发散,即证其部分和数列发散.用反证法证明.若收敛即存在,设,则.由于,从而有,即,此结论说明假设不真,故发散.证2仍证其部分和数列发散.注意到第3章中已得到的不等式:因此有.又,从而有由于,得,故发散.必须记住一百年的例子:1.发散;2.调和级数发散;3.。-272-第13章无穷级数1.2基本性质固定,如果在级数(1.1)去掉前项,则得一级数:,(1.3)级数(1.3)叫做级数(1.1)的项后的余项.级数(1.1)的余项(1.3)的前项部分和,所以.结论:级数(1.3)收敛级数(1.1)收敛;收敛时,即,其中是(1.1)的和,是(1.3)的和.性质1.1级数中去掉或加上有限多项后不改变级数的收敛性.当级数收敛时,其部分和,于是固定将作为级数和的近似值时,其误差为:.推论:级数的收敛性与前面固定的一大段无关,只决定于它的尾巴。与极限运算的线性性质相似,收敛级数有下列运算性质:(经)性质1.2(1)若级数收敛,其和为,则对任意常数,级数也收敛,且其和为.(2)设有级数,分别收敛于与,即,,则级数也收敛,且其和为.证(1)设与的部分和分别为,,则,于是,故级数收敛且和为.(2)设级数,的部分和分别为,,则的部分和-273-高等数学,故,这表明级数收敛且其和为.由上面的推导很容易得到如下重要结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数后,其收敛性不变;三个级数,如果其二收敛则第三个也收敛(不可能只有一个发散)。思考题:3.若收敛,发散,问收敛还是发散?又如果所给两个级数均发散,那么是否必发散?性质1.3将收敛级数的项任意加括号之后所成新级数仍收敛,且其和不变.证设有收敛级数,任意加括号后所成的级数为,用表示该新级数的前项之和,则显然数列是原级数部分和的子数列.因此,由收敛,则其子数列也收敛,且两者极限相同,故结论得证.性质1.3的逆命题不成立,即加括号之后的级数收敛不能保证原级数收敛.例如,级数收敛于零,但去括号之后所得级数却是发散的.性质1.3的逆否命题是推论1.1如果级数加括号之后所形成的级数发散,则原级数发散.性质1.4级数收敛的必要条件是它的一般项趋于零,即.证对于级数,它的一般项与部分和之间有关系式.假设该级数收敛于和,则.性质1.4的逆否命题是:推论1.2如果级数的一般项不趋于零即,则此级数发散.性质1.4最常用的是它的逆否命题推论1.2(用来断定级数发散)。-274-第13章无穷级数思考题:4.对级数的一般项,若,则此级数收敛吗?(不一定。例如调和级数。)*因级数的收敛是由部分和数列的收敛来定义的,因此由判断数列极限的Cauchy收敛原理,可得到如下判别级数收敛性的Cauchy收敛原理.*定理1.1*(Cauchy收敛原理)级数收敛的充分必要条件是:,使得当时,,总...

1、当您付费下载文档后,您只拥有了使用权限,并不意味着购买了版权,文档只能用于自身使用,不得用于其他商业用途(如 [转卖]进行直接盈利或[编辑后售卖]进行间接盈利)。
2、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。
3、如文档内容存在违规,或者侵犯商业秘密、侵犯著作权等,请点击“违规举报”。

碎片内容

齐民友高数下册上课第13章01常数项级数概念及性质(1)

确认删除?
VIP
微信客服
  • 扫码咨询
会员Q群
  • 会员专属群点击这里加入QQ群
客服邮箱
回到顶部