“否命题”与“命题的否定”辨析 专题辅导 不分版本VIP免费

“”“”否命题与命题的否定辨析李亚丽“”“”“”如何正确地表达一个命题的否定及否命题是简易逻辑中的难点之一。有些同学在写原命题的否命题时，仅写了对结论的否定；还有一些同学用反证法证明问题时，却假设条件和结“”“”“”“论都不成立。说明他们混淆了否命题与命题的否定这两个概念。事实上否命题与命题的”“否定是两个根本不同的概念，如果原命题是若p则q”“，那么这个命题的否命题是若非p，则非q”“，而这个命题的否定是若p则非q”。可见，否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论。“”“”“”一般地，都表示全部，不都表示不是全部，它包含一部分或没有，而都不表示全不，“即一个也没有。如命题a、b”“都是零的否定不是a、b”“都不是零，而是a、b”不都是零，即“a、b”“中至少有一个不为零。因为a、b”“都是零是复合命题p且q”“的形式，其否定应该为非p或非q”“，也就是a=0且b=0”“的否定应为”“，即a、b”中至少有一个不为零。“”“”“”“”对全、都的否定，只需在其前面加一个不即可，而对一定的否定却不一样。因两者“”“”“”的词性不同，全、都是副词，是对某一个范围而言的；而一定是一个语气助词，带强调“”“”“”意味，这两者有一定区别。因此，在对一定、一定都的否定时，可分两步，先将一定两“”“”字拿下，否定后放在不的前面。如对命题三角形两边之和一定大于第三边的否定，先是“”“”“三角形两边之和不大于第三边，后得三角形两边之和一定不大于第三边。又如对命题在△ABC中，若∠A是直角，则∠B、∠C”“”“一定是锐角的否定，这里的一定是含有两个角一”“定都是之意，因此可先否定在△ABC中，若∠A是直角，则∠B、∠C”不都是锐角，再放上“”“一定得：在△ABC中，若∠A是直角，则∠B、∠C”一定不都是锐角。例1.原命题：（1）若一个三角形为锐角三角形，则它的三个内角都为锐角；（2）菱形的对角线互相垂直；（3）面积相等的三角形是全等三角形。写出原命题的否定和否命题。解：（1）原命题的否定：若一个三角形为锐角三角形，则它的三个内角不都为锐角。原命题的否命题为：若一个三角形不为锐角三角形，则它的三个内角不都为锐角。（2）原命题的否定：菱形的对角线不互相垂直。原命题的否命题：非菱形的四边形的对角线不互相垂直。（3）原命题的否定：面积相等的三角形不是全等三角形。原命题的否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形。“”“”“”“”“”“评析：都是的否定是不都是，不都是包含都不是，至少有一个的否定是一个都没”“”“”“”“”“”“有，所有的的否定是某些，任意的的否定是某个，至多有一个的否定是至少有两”“个，至多有n”“个的否定是至少有n+1”“”“”个，任意两个的否定是某两个。像这类否定同学们不妨探究一下。例2.已知。试判断错解：所以，，也就是的既不充分也不必要条件。解：上述解法的错误在于由“时，简单地认为>”的“否定是”。事实上，，因此，，即。。故。“评析：在处理含有不等式的逻辑问题时，注意符号”“的真正含义。符号”“是由>”“与=”复“合而成，因此，解题时可以将”“分解成>”“与=”，所以解不等式可以转化为求不等式和方程的解集的并集，也可以转化为求“的解集的补集。对于非p”形“式的命题，不能机械地进行否定，要注意对命题进行整体考虑或考虑p”“与”的真假，不能与真值表相悖。