第5章第3节(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．(·北京高考)在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m＝()A．9B．10C．11D．12解析：由题知am＝|q|m－1＝a1a2a3a4a5＝|q|10，所以m＝11.答案：C2．等比数列{an}的公比为q“，则q＞1”“是对于任意正整数n，都有an＋1＞an”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：当a1＜0时，条件与结论均不能由一方推出另一方．答案：D3．(·浙江高考)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝()A．11B．5C．－8D．－11解析：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，依题意知8a1q＋a1q4＝0，a1≠0，则q3＝－8，故q＝－2，所以＝＝－11.答案：D4．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝()A．35B．33C．31D．29解析：设数列{an}的公比为q1，a2·a3＝a·q3＝a1·a4＝2a1⇒a4＝2，a4＋2a7＝a4＋2a4q3＝2＋4q3＝2×⇒q＝，故a1＝＝16，S5＝＝31.答案：C5．已知各项不为0的等差数列{an}，满足2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8等于()A．2B．4C．8D．16解析：由题意可知，b6b8＝b＝a＝2(a3＋a11)＝4a7. a7≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝16.答案：D6．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有()A．13项B．12项C．11项D．10项解析：设前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.所以前三项之积aq3＝2，后三项之积aq3n－6＝4.所以两式相乘，得aq3(n－1)＝8，即aqn－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，aq＝64，即(aqn－1)n＝642，即2n＝642.所以n＝12.答案：B二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．(·福建高考)在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.解析： 在等比数列{an}中，前3项之和等于21，∴＝21，∴a1＝1，∴an＝4n－1.答案：4n－18．等比数列{an}的公比q＞0.已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝________.解析： {an}是等比数列，∴an＋2＋an＋1＝6an可化为a1qn＋1＋a1qn＝6a1qn－1，∴q2＋q－6＝0. q＞0，∴q＝2.a2＝a1q＝1，∴a1＝.∴S4＝＝＝.答案：9．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2…，)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.解析：由题意知，{an}有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，－24,36，－54,81四项成等比数列，公比为q＝－，6q＝－9.答案：－9三、解答题(共3个小题，满分35分)10．已知数列{an}满足an＋1－2an＝0，且a3＋2是a2，a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若bn＝13＋2log12an，Sn＝b1＋b2…＋＋bn，求Sn的最大值．解：(1) an＋1－2an＝0，即an＋1＝2an，∴数列{an}是以2为公比的等比数列． a3＋2是a2，a4的等差中项，∴a2＋a4＝2a3＋4，∴2a1＋8a1＝8a1＋4，∴a1＝2，∴数列{an}的通项公式an＝2n.(2)由(1)及bn＝13＋2log12an，得bn＝13－2n，令13－2n≥0，则n≤6.5，∴当1≤n≤6时，bn＞0，当n≥7时，bn＜0，∴当n＝6时，Sn有最大值，S6＝36.11．有n2(n≥4)个正数aij(i＝1,2…，n，j＝1,2…，n)，排成n×n矩阵(n行n列的数表)：，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，且满足a24＝1，a42＝，a43＝.(1)求公比q；(2)用k表示a4k.解：(1)因为每一行的数成等差数列，所以a42，a43，a44成等差数列，所以a44＝2a43－a42＝.又每一列的数成等比数列，故a44＝a24·q2⇒q2＝＝.又因为aij>0，所以q>0，故q＝.(2)由已知，第四行的数成等差数列，且d＝a43－a42＝，a4k为此行中第k个数，所以a4k＝a42＋(k－2)d＝＋(k－2)·＝.12．已知数列{an}满足an＋1＝2an＋n＋1(n＝1,2,3…，)．(1)若{an}是等差数列，求其首项a1和公差d；(2)证明{an}不可能是等比数列；(3)若a1＝－1，求{an}的通项公式以及前n项和公式．解：(1)因为{an}是等差数列，设其首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，于是有a1＋nd＝2[a1＋(n－1)d]＋n＋1，整理...
