从不同角度求解不等式恒成立问题湖北宜昌外国语学校秦江不等式恒成立问题是高中数学考查的热点问题之一，此类问题综合性较强，题中所涉及的未知数、参数数目至少有两个，学生处理时常常陷入困境之中。本文从几种角度介绍不等式恒成立问题的常见解法。一函数图象例1若不等式在在时恒成立，求实数的取值范围。分析：本题中的不等式是关于的二次不等式，可结合二次函数的图象，构造关于的不等式。又因为二次项系数为，需分与两种情况讨论。解：设当时，，此时在时不可能恒成立。当时，则解得，或总之的取值范围是。点评：本题结合二次函数的图象，由开口方向与判别式得到不等式组，是数形结合思想中的“形”中觅“数”，“数”上构“形”的充分体现。二函数最值例2若，当时，恒成立，求实数的取值范围。分析：本题可先求出的最小值（可能含有参数），由求出实数的取值范围。解：因为，结合图象的对称轴，分以下两种情况讨论：①当时，只需，解得又②当时，只需，解得又总之的取值范围是点评：当不等式一侧的最值（可能含有参数）容易求出时，通过最值建立关于参数的不等式。三变更主元例3若不等式对于任意都恒成立，求实数的取值范围。分析：本题中不等式中含有两个变量，应把其中一个看作变量，另一个看作参数。若把看作变量，看作参数，使“反客为主”，变更主元，可得到关于的一次不等式，结合一次函数的图象，再得到关于的不等式（组）。解:设，则，因为恒成立，所以只需，即解得故实数的取值范围是。点评：在不等式中出现了两个字母：及,而我们都习惯把看成是一个变量，作为常数.本题转换视角，可将视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于的一次函数小于0恒成立的问题。此类题本质上是利用了一次函数在闭区间上的图象是一条线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可。四分离参数例4若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。分析：面对此题，若将参数与变量分离，再从函数最值得角度来考虑，就会有意外收获。解：将不等式变形，得考虑函数,则只需即可。当时，取得最下值，且故实数的取值范围是。点评：在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法。
