第十八讲两角和与差及二倍角公式班级________姓名________考号________日期________得分________一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．已知cos＋sinα＝，则sin的值是()A．－B.C．－D.解析：∵cos＋sinα＝∴cosα＋sinα＝，＝，＝，∴sin＝，∴sin＝－sin＝－.答案：C2．已知cos＝，则cos－sin2的值是()A.B．－C.D.解析：∵cos＝cos＝－cos＝－.而sin2＝1－cos2＝1－＝，所以原式＝－－＝－.答案：B3．若sinα＝，sinβ＝，且α、β为锐角，则α＋β的值为()A．－B.C．±D.解析：解法一：依题意有cosα＝＝，cosβ＝＝，∴cos(α＋β)＝×－×＝＞0.∵α，β都是锐角，∴0＜α＋β＜π，∴α＋β＝.解法二：∵α，β都是锐角，且sinα＝＜，sinβ＝＜，∴0＜α，β＜，0＜α＋β＜，∴cosα＝＝，cosβ＝＝，sin(α＋β)＝×＋×＝.∴α＋β＝.答案：B4．在△ABC中，若cosA＝，cosB＝，则cosC的值是()A.B.C.或D．－解析：在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，cosA＝＞0，cosB＝＞0，得0＜A＜，0＜B＜，从而sinA＝，sinB＝，所以cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sinA·sinB－cosA·cosB＝×－×＝，故选A.答案：A5．若cos2θ＋cosθ＝0，则sin2θ＋sinθ的值等于()A．0B．±C．0或D．0或±解析：由cos2θ＋cosθ＝0得2cos2θ－1＋cosθ＝0，所以cosθ＝－1或.当cosθ＝－1时，有sinθ＝0；当cosθ＝时，有sinθ＝±.于是sin2θ＋sinθ＝sinθ(2cosθ＋1)＝0或或－.答案：D评析：本题主要考查三角函数的基本运算，同角三角函数关系式以及倍角公式．解题关键是熟练掌握公式，并注意不能出现丢解错误．6．(·海口质检)在△ABC中，已知sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB≥1，则△ABC是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形解析：sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB＝sin[(A－B)＋B]＝sinA≥1，又sinA≤1，∴sinA＝1，A＝90°，故△ABC为直角三角形．答案：A二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7.的值是________．解析：原式＝＝＝＝.答案：8．已知cos＝，α∈则(α∈)＝________.解析：∵＝＝＝(cosα－sinα)＝2sin.又α∈，则－α∈.由cos＝，则sin＝.∴原式＝.答案：9．(1＋tan10°)·cos40°＝________.解析：(1＋tan10°)cos40°＝cos40°＝·cos40°＝·cos40°＝＝＝1.答案：110．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则角α＝________.解析：依题意有cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，即cosα(cosβ＋sinβ)＝sinα(sinβ＋cosβ)．∵α、β均为锐角∴sinβ＋cosβ≠0，必有cosα＝sinα∴α＝.答案：三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点．已知A、B的横坐标分别为，.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解：由已知得cosα＝，cosβ＝.∵α，β为锐角，∴sinα＝＝，sinβ＝＝.∴tanα＝7，tanβ＝.(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.(2)∵tan2β＝＝＝，∴tan(α＋2β)＝＝＝－1.∵α、β为锐角，∴0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝.12．已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<.(1)求tan2α的值；(2)求β的值．分析：由已知可求sinα，进而可求tanα，tan2α；由角的关系入手，利用角的变换β＝α－(α－β)可求得cosβ.解：(1)由cosα＝，0<α<，得sinα＝＝＝.∴tanα＝＝×＝4.于是tan2α＝＝＝－.(2)由0<β<α<，得0<α－β<.又∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝＝由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.所以β＝.13．已知0<β<<α<π，cos＝，sin＝，求sin(α＋β)的值．解：∵<α<，∴－<－α<－，－<－α<0.又∵cos＝，∴sin＝－.又∵0<β<，∴<＋β<π.又∵sin＝，∴cos＝－，∴sin(α＋β)＝－cos＝－cos＝－coscos－sinsin＝－×－×＝＋＝.评析：三角函数的给值求值问题“”“”解决的关键在于把所求角用已知角表示．(1)“”“”“”当已知角有两个时，所求角一般表示为两个已知角的和或差的形式；(2)“”“”“”当已知角有一个时，此时应着眼于所求角与已知角的和或差的关系，然后应“”“”用诱导公式把所求角变成已知角．(3)常见的配角技巧α＝2·；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝[(α＋β)＋(α－β)]；β＝[(α＋β)－(α－β)]；＋α＝－.
