第二十三讲平面向量的概念及线性运算班级________姓名________考号________日期________得分________一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.(精选考题•四川)设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,=16,|则||=()A.8B.4C.2D.1解析:由可知,⊥则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线,因此,|选C.答案:C2.已知△ABC中,点D在BC边上,且则r+s的值是()C.-3D.0解析:∵∴∴又∴r=,∴r+s=0.故选D.答案:D3.平面向量a,b共线的充要条件是()A.a,b方向相同B.a,b两向量中至少有一个为0C.存在λ∈R,使b=λaD.存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0解析:a,b共线时,a,b方向相同或相反,故A错.a,b共线时,a,b不一定是零向量,故B错.当b=λa时,a,b一定共线,若b≠0,a=0.则b=λa不成立,故C错.排除A、B、C,故选D.答案:D4.已知O､A､B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足则等于()解析:∴故选A.答案:A5.设D､E､F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,且则与A.反向平行B.同向平行C.不平行D.无法判断解析:∴故选A.答案:A6.已知a,b是不共线的向量,=λa+b,=a+μb,(λ,μ∈R),那么A、B、C三点共线的充要条件为()A.λ+μ=2B.λ-μ=1C.λμ=-1D.λμ=1解析:对充要条件的问题,要注意从充分性和必要性两个方面进行分析论证.由A、B、C三点共线∥λa+b=ma+mμb(λ-m)a=(mμ-1)b.因为a,b不共线,所以必有故可得λμ=1.反之,若λμ=1,则μ=所以(λa+b)=∥所以A、B、C三点共线.故选D.答案:D二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)7.若点O是△ABC所在平面内的一点,且满足,则△ABC的形状为________.解析:∴故A､B､C为矩形的三个顶点,△ABC为直角三角形.答案:直角三角形8.在平行四边形ABCD中,E､F分别是边CD和BC的中点,若=λ+u其中λ,u∈R,则λ+u=________.解析:设则=b-a,代入条件得λ=u=,∴λ+u=.答案:9.如图,平面内有三个向量､､其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=,若=λμ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为________.解析:过C作与的平行线与它们的延长线相交,可得平行四边形,由∠BOC=90°,∠AOC=30°,|,得平行四边形的边长为2和4,故λ+μ=2+4=6.答案:610.如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若则m+n的值为________.解析:由于MN的任意性可用特殊位置法:当MN与BC重合时知m=1,n=1,故m+n=2.答案:2三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)11．若a，b是两个不共线的非零向量，t∈R，若a，b起点相同，t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在一条直线上？解：设a－tb＝m[a－(a＋b)]，m∈R，化简得a＝b，∵a与b不共线，∴⇒∴t＝时，a，tb，(a＋b)的终点在一条直线上．12.设a、b是不共线的两个非零向量,(1)若=a-3b,求证:A、B、C三点共线;(2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值.解:(1)证明:∵(3a+b)-(2a-b)=a+2b.而=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2∴与共线,且有公共端点B,∴A、B、C三点共线.(2)∵8a+kb与ka+2b共线,存在实数λ使得8a+kb=λ(ka+2b)(8-λk)a+(k-2λ)b=0,∵a与b是不共线的两个非零向量,∴⇒8＝2λ2⇒λ＝±2，∴k＝2λ＝±4.13.如图所示,△ABC中,点M是BC的中点,点N在AC边上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求APPM的值.解:设=e1,e2,则=-3e2-e1,2e1+e2,∵A､P､M和B､P､N分别共线,∴存在λ､μ∈R,使=λ=-λe1-3λe2,=μ=2μe1+μe2.故=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2,而2e1+3e2,∴由平面向量基本定理得，∴，∴即AP:PM=4:1.
