2009年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（全国Ⅱ卷）一、解答题(本大题共3题,共计36分)1、(12分)分析：本小题考查相互独立事件的概率的求法.解：(1)由于甲、乙两组各有10名工人,根据分层抽样原理,要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核,则从每组各抽取2名工人.(2)记A表示事件:从甲组抽取的工人中恰有1名女工人,则.(3)Ai表示事件:从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人,i=0,1,2.Bj表示事件:从乙组抽取的2名工人中恰有j名男工人,j=0,1,2.B表示事件:抽取的4名工人中恰有2名男工人.Ai与Bi独立,i,j=0,1,2,且B=A0·B2+A1·B1+A2·B0.故P(B)=P(A0·B2+A1·B1+A2·B0)=P(A0)·P(B2)+P(A1)·P(B1)+P(A2)·P(B0)==.2、(12分)分析：本小题考查导数与函数单调性的关系及恒成立问题.解：(1)f′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a).由a＞1知,当x＜2时,f′(x)＞0,故在区间(-∞,2)上是增函数;当2＜x＜2a时,f′(x)＜0,故在区间(2,2a)上是减函数;当x＞2a时,f′(x)＞0,故在区间(2a,+∞)上是增函数.综上,当a＞1时,在区间(-∞,2)和(2a,+∞)上是增函数,在区间(2,2a)上是减函数.(2)由(1)知,当x≥0时,在x=2a或x=0处取得最小值.=.f(0)=24a.由假设知即解得1＜a＜6.故a的取值范围是(1,6).3、(12分)分析:本小题考查直线与椭圆的位置关系及存在性问题.解：(1)设F(c,0),当l的斜率为1时,其方程为x-y-c=0,O到l的距离为.故,c=1.由,得,.(2)C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时,成立.由(1)知C的方程为2x2+3y2=6.设A(x1,y1),B(x2,y2).(ⅰ)当l不垂直于x轴时,设l的方程为y=k(x-1).C上的点P使成立的充要条件是P点的坐标为（x1+x2,y1+y2）,且2(x1+x2)2+3(y1+y2)2=6,整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6.又A、B在C上,即2x12+3y12=6,2x22+3y22=6.故2x1x2+3y1y2+3=0,①将y=k(x-1)代入2x2+3y2=6,并化简得(2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0.于是,,y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=.代入①解得,k2=2,此时.于是y1+y2=k(x1+x2-2)=,即P().因此,当时,P(),l的方程为;当时,P(),l的方程为.(ⅱ)当l垂直于x轴时,由知,C上不存在点P使成立.综上,C上存在点P()使成立,此时l的方程为.二、选择题(本大题共12题,共计60分)1、(5分)C解析： M∪N={1,3,5,6,7},∴(M∪N)={2,4,8}.2、(5分)B解析：由(x≤0)x=-y2(y≥0).∴f-1(x)=-x2(x≥0).3、(5分)A解析：,故图象关于原点对称.4、(5分)D解析： ,∴＜A＜π,且.由1+tan2A=sec2A=.5、(5分)C解析：设AB=1,则AA1=2,如图,∠EBA1即为异面直线BE与CD1所成的角.在△A1BE中,,,A1E=1.由余弦定理可得,cos∠A1BE=.6、(5分)C解析： |a+b|=,∴|a+b|2=a2+2a·b+b2=5+2·10+b2=()2|b|=5.7、(5分)B解析： 0＜lge＜1,即0＜a＜1,∴b=(lge)2＜lge=a.又,∴a=lge＞,即a＞c.又c-b=-(lge)2=lge()＞lge()=0,即c＞b.综上,a＞c＞b.8、(5分)A解析： 双曲线的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2相切,∴由点到直线的距离,得.故选A.9、(5分)D解析：由题意知，即.∴,得,则ωmin=(ω＞0).10、(5分)C解析：由题意,得.11、(5分)D解析：如图:由图可知,BB′=BF,AA′=AF,又|AF|=2|BF|.∴,即B是AC中点.∴与联立可得A（4，）,B(1,).∴,选D.12、(5分)B解析：将平面图形还原成立体图,可得答案B.三、填空题(本大题共4题,共计20分)1、(5分)3解析:S6=4S3.∴a4=a1·q3=1×3=3.2、(5分)6解析:通项Tr+1=.令,∴x3y3的系数为.3、(5分)解析: A(1,2)在圆x2+y2=5上,∴过A点与⊙O相切的直线方程为x+2y=5,与坐标轴交点为(0,),(5,0).∴.4、(5分)8π解析：如图，设球半径为R，圆C的半径为r,则.由截面圆性质可得R2=OC2+r2,OM2=2OC2.∴.∴S球=4πR2=8π.四、解答题(本大题共3题,共计34分)1、(10分)分析：考查等差数列的基本性质及求和公式.解：设{an}的公差为d,则即解得或因此,Sn=-8n+n(n-1)=n(n-9),或Sn=8n-n(n-1)=-n(n-9).2、(12分)分析：本小题考查和与差的余弦公式及三角形中的正弦定理.解：由cos(A-C)+cosB=及B=π-(A+C)得cos(A-C)-cos(A+C)=.cosAcosC+sinAsinC-(cosAcosC-sinAsinC)=,.又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC,故,或(舍去)，于是,或.又由b2=ac知b≤a或b≤c,所以.3、(12分)分析：本小题考查空间中的线面关系及二面角与线面角的基本求法.解法一：(1)取BC中点F,连结EF,则E...
