4.2三角恒等变换考点三角函数的求值和化简1.(山东,12,5分)函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为.答案π2.(陕西,13,5分)设0<θ<,向量a=(sin2θ,cosθ),b=(1,-cosθ),若a·b=0,则tanθ=.答案3.(天津,16,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a-c=b,sinB=sinC.(1)求cosA的值;(2)求cos的值.解析(1)在△ABC中,由=,及sinB=sinC,可得b=c.又由a-c=b,有a=2c.所以,cosA===.(2)在△ABC中,由cosA=,可得sinA=.于是,cos2A=2cos2A-1=-,sin2A=2sinA·cosA=.所以,cos=cos2A·cos+sin2A·sin=.4.(广东,16,12分)已知函数f(x)=Asin,x∈R,且f=.(1)求A的值;(2)若f(θ)-f(-θ)=,θ∈,求f.解析(1)由f=,得Asin=Asin=A=A=3.⇒⇒⇒(2)由f(θ)-f(-θ)=,得3sin-3sin=,即3sin+3sin=,化简整理得6sinθcos=,∴3sinθ=,∴sinθ=.∵θ∈,∴cosθ=,∴f=3sin=3sin=3cosθ=.5.(江西,16,12分)已知函数f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)为奇函数,且f=0,其中a∈R,θ∈(0,π).(1)求a,θ的值;(2)若f=-,α∈,求sin的值.解析(1)因为f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)是奇函数,而y1=a+2cos2x为偶函数,所以y1=cos(2x+θ)为奇函数,又θ∈(0,π),则θ=,所以f(x)=-sin2x·(a+2cos2x),由f=0得-(a+1)=0,即a=-1.(2)由(1)得,f(x)=-sin4x,因为f=-sinα=-,即sinα=,又α∈,从而cosα=-,所以有sin=sinαcos+cosαsin=.6.(浙江,18,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4sin2+4sinAsinB=2+.(1)求角C的大小;(2)已知b=4,△ABC的面积为6,求边长c的值.解析(1)由已知得2[1-cos(A-B)]+4sinAsinB=2+,化简得-2cosAcosB+2sinAsinB=,故cos(A+B)=-,所以A+B=,从而C=.(2)因为S△ABC=absinC,由S△ABC=6,b=4,C=,得a=3.由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得c=.
