5.3解三角形考点一正、余弦定理1.(江西,5,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若3a=2b,则的值为()A.-B.C.1D.答案D2.(北京,12,5分)在△ABC中,a=1,b=2,cosC=,则c=;sinA=.答案2;3.(湖北,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=,a=1,b=,则B=.答案或4.(福建,14,4分)在△ABC中,A=60°,AC=2,BC=,则AB等于.答案15.(陕西,16,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,且c=2a,求cosB的值.解析(1)证明:∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.∵sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),∴sinA+sinC=2sin(A+C).(2)由题设有b2=ac,c=2a,∴b=a,由余弦定理得cosB===.6.(山东,17,12分)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cosA=,B=A+.(1)求b的值;(2)求△ABC的面积.解析(1)在△ABC中,由题意知,sinA==,因为B=A+,所以sinB=sin=cosA=.由正弦定理可得b===3.(2)由B=A+得cosB=cos=-sinA=-.由A+B+C=π,得C=π-(A+B).所以sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+×=.因此△ABC的面积S=absinC=×3×3×=.7.(重庆,18,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+b+c=8.(1)若a=2,b=,求cosC的值;(2)若sinAcos2+sinBcos2=2sinC,且△ABC的面积S=sinC,求a和b的值.解析(1)由题意可知c=8-(a+b)=.由余弦定理得cosC===-.(2)由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得:sinA·+sinB·=2sinC,化简得sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC.因为sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC,所以sinA+sinB=3sinC.由正弦定理可知a+b=3c.又因为a+b+c=8,所以a+b=6.由于S=absinC=sinC,所以ab=9,从而a2-6a+9=0,解得a=3,b=3.8.(大纲全国,18,12分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B.解析由题设和正弦定理得3sinAcosC=2sinCcosA.故3tanAcosC=2sinC,因为tanA=,所以cosC=2sinC,tanC=.(6分)所以tanB=tan[180°-(A+C)]=-tan(A+C)=(10分)=-1,即B=135°.(12分)考点二解三角形及其应用9.(四川,8,5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于()A.240(-1)mB.180(-1)mC.120(-1)mD.30(+1)m答案C10.(课标Ⅰ,16,5分)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,则山高MN=m.答案15011.(安徽,16,12分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,△ABC的面积为,求cosA与a的值.解析由三角形面积公式,得×3×1·sinA=,故sinA=.因为sin2A+cos2A=1,所以cosA=±=±=±.①当cosA=时,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=32+12-2×1×3×=8,所以a=2.②当cosA=-时,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=32+12-2×1×3×=12,所以a=2.12.(课标Ⅱ,17,12分)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求C和BD;(2)求四边形ABCD的面积.解析(1)由题设及余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcosC=13-12cosC,①BD2=AB2+DA2-2AB·DAcosA=5+4cosC.②由①,②得cosC=,故C=60°,BD=.(2)四边形ABCD的面积S=AB·DAsinA+BC·CDsinC=sin60°=2.13.(辽宁,17,12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知·=2,cosB=,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.解析(1)由·=2得c·acosB=2.又cosB=,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accosB.又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.解得a=2,c=3或a=3,c=2.因为a>c,所以a=3,c=2.(2)在△ABC中,sinB===.由正弦定理,得sinC=sinB=·=.因为a=b>c,所以C为锐角,因此cosC===.于是cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=×+×=.14.(湖南,19,13分)如图,在平面四边形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=,EA=2,∠ADC=,∠BEC=.(1)求sin∠CED的值;(2)求BE的长.解析设∠CED=α.(1)在△CDE中,由余弦定理,得EC2=CD2+DE2-2CD·DE·cos∠EDC.于是由题设知,7=CD2+1+CD,即CD2+CD-6=0,解得CD=2(CD=-3舍去).在△CDE中,由正弦定理,得=.于是sinα===,即sin∠CED=.(2)由题设知,0<α<,于是由(1)知,cosα===.而∠AEB=-α,所以cos∠AEB=cos=coscosα+sinsinα=-cosα+sinα=-×+×=.在Rt△EAB中,cos∠AEB==,故BE===4.
