(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为()A．4B．－2C．4或－4D．12或－2解析：设标准方程为x2＝－2py(p>0)，由定义知P到准线距离为4，故＋2＝4，∴p＝4，∴方程为x2＝－8y，代入P点坐标得m＝±4.答案：C2．(·陕西高考)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为()A.B．1C．2D．4解析：由已知，可知抛物线的准线x＝－与圆(x－3)2＋y2＝16相切．圆心为(3,0)，半径为4，圆心到直线的距离d＝3＋＝4，解得p＝2.答案：C3．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()A．y2＝±2xB．y2＝±2xC．y2＝±4xD．y2＝±4x解析：因为双曲线的焦点为(－，0)，(，0)设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝.∴p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x.答案：D4．(·辽宁高考)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝()A．4B．8C．8D．16解析：由抛物线的定义得，|PF|＝|PA|，又由直线AF的斜率为－，可知∠PAF＝60°.△PAF是等边三角形，∴|PF|＝|AF|＝＝8.答案：B5．若双曲线－＝1的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为()A．2B．3C．4D.解析：双曲线的左焦点(－，0)，抛物线的准线x＝－，∴－＝－⇒p2＝16，由题意知p＞0，∴p＝4.答案：C6．已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是()A.或B.或C.或D.解析：抛物线焦点是(，0)，设直线方程为y＝k(x－)，代入抛物线方程，得k2x2－(3k2＋6)x＋k2＝0，设弦两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋3＝12，解得k＝±1，∴直线的倾斜角为或.答案：B二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．抛物线2x2＋y＝0的焦点坐标是________．解析：依题意得x2＝－y，因此其焦点坐标是(0，－)．答案：(0，－)8．(·南京模拟)已知点A(－2,1)，y2＝－4x的焦点是F，P是y2＝－4x上的点，为使|PA|＋|PF|取得最小值，P点的坐标是________．解析：过P作PK⊥l(l为抛物线的准线)于K，则|PF|＝|PK|，∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PK|，∴当P点的纵坐标与A点的纵坐标相同时，|PA|＋|PK|最小．此时P点的纵坐标为1，把y＝1代入y2＝－4x得x＝－.即当P点的坐标为(－，1)时，|PA|＋|PF|最小．答案：(－，1)9．(·湖南高考)过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C.若梯形ABCD的面积为12，则p＝________.解析：依题意，抛物线的焦点F的坐标为(0，)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y－＝x，代入抛物线方程得，y2－3py＋＝0，故y1＋y2＝3p，|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋p＝4p，直角梯形有一个内角为45°，故|CD|＝|AB|＝×4p＝2p，梯形面积为(|BC|＋|AD|)×|CD|＝×3p×2p＝3p2＝12，p＝2.答案：2三、解答题(共3小题，满分35分)10．已知点A(0，－2)，B(0,4)，动点P(x，y)满足·＝y2－8.(1)求动点P的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹方程与直线y＝x＋2交于C，D两点，求证：OC⊥OD(O为原点)．解：(1)由题意可得·＝(－x，－2－y)·(－x,4－y)＝y2－8，化简得x2＝2y.(2)证明：将y＝x＋2代入x2＝2y中，得x2＝2(x＋2)．整理得x2－2x－4＝0，可知Δ＝4＋16＝20>0，x1＋x2＝2，x1x2＝－4. y1＝x1＋2，y2＝x2＋2，∴y1·y2＝(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝4.∴kOC·kOD＝·＝＝－1，∴OC⊥OD.11．(·福建高考)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由．解：(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，所以p＝2.故所求抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t，由得y2＋2y－2t＝0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.由直线OA与l的距离d＝可得＝，解得t＝±1.因为－1∉[∞－...
