(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝C．x2＋y2＝1D．x2＋y2＝4解析：圆心坐标为(0,0)，半径r＝＝，∴圆的方程为x2＋y2＝2.答案：A2．点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，则该圆的半径为()A．2B.C．3D．1解析：M，N关于直线l对称，则直线l为MN的中垂线，故过此圆圆心(－，－1)，所以k＝4.所以原方程可化为x2＋y2＋4x＋2y－4＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝9，所以其半径为3.答案：C3．若过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，则直线的方程是()A．y＝xB．y＝－xC．y＝xD．y＝－x解析：由题意，先排除B、D，由x2＋y2＋4x＋3＝0得(x＋2)2＋y2＝1，圆心为(－2,0)，半径为1，故直线方程为y＝x.答案：C4．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为()A．(∞－，－2)B．(∞－，－1)C．(1∞，＋)D．(2∞，＋)解析：曲线C的方程可化为：(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，其圆心为(－a,2a)，要使得圆C的所有的点均在第二象限内，则圆心(－a,2a)必须在第二象限，从而有a>0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C的半径，易知圆心到纵坐标轴的最短距离为|－a|，则有|－a|>2，故a>2.答案：D5．(·临沂模拟)圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是()A．(∞－，]B．(0，]C．(－，0)D．(∞－，)解析：由题可知直线2ax－by＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a＋b＝1，又因ab≤()2＝.答案：A6．(·日照模拟)圆心在曲线y＝(x>0)上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为()A．(x－1)2＋(y－3)2＝()2B．(x－3)2＋(y－1)2＝()2C．(x－2)2＋(y－)2＝9D．(x－)2＋(y－)2＝9解析：设圆心(a，)(a>0)，则圆心到直线的距离d＝，而d≥(2＋3)＝3，当且仅当3a＝，即a＝2“”时，取＝，此时圆心为(2，)，半径为3，圆的方程为(x－2)2＋(y－)2＝9.答案：C二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．圆心在直线x＝2上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为______________．解析：线段AB的垂直平分线方程为y＝－3，故圆心坐标为(2，－3)．半径r＝＝，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝58．圆心在x轴上，经过原点，并且与直线y＝4相切的圆的标准方程是________________．解析：由题意知，圆心坐标是(±4,0)，半径为4，∴圆的方程为(x±4)2＋y2＝16.答案：(x±4)2＋y2＝169．(·南京模拟)已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．解析：过点M的最短的弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，∵kCM＝＝1，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.答案：x＋y－1＝0三、解答题(共3小题，满分35分)10．已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9，过点A(2,3)作圆C的任意弦，求这些弦的中点P的轨迹方程．解：设P(x，y)，圆心C(1,1)．∵P点是过A的弦的中点，∴⊥.又∵＝(2－x,3－y)，＝(1－x,1－y)，∴(2－x)·(1－x)＋(3－y)(1－y)＝0，∴P点的轨迹方程为(x－)2＋(y－2)2＝.11．已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求y－x的最大值和最小值；(2)求x2＋y2的最大值和最小值．解：(1)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±.所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.(2)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4；最小值是(2－)2＝7－4.12．已知圆M过两点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．(1)求圆M的方程；(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A、B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．解：(1)设圆M的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，根据题意得：，解得：a＝b＝1，r＝2，故所求圆M的方程为：(x－1)2＋(y－1)2＝4.(2)由题知，四边形PAMB的面积为S＝S△PAM＋S△PBM＝|AM||PA|＋|BM||PB|.又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，而|PA|＝＝，即S＝2.因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min＝＝3，所以四边形PAMB面积的最小值为S＝2＝2＝2.
