变化率问题导数的概念VIP免费

第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果——微积分的产生。背景介绍微积分的奠基人是牛顿和莱布尼茨，他们分别从运动学和几何学角度来研究微积分。微积分靠着解析几何的帮助，成为十七世纪最伟大的数学发现，此后，微积分得到了广泛应用。例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题，天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题等等，甚至连历法、农业都与微积分密切相关，更不用说在我们的日常生活中所碰到的那些问题了。2496510?.,:m...??tshhttt你看过高台跳水比赛吗照片中锁定了运动员比赛的瞬间已知起跳后运动员相对于水面的高度单位可用函数表示如何求他在某时刻的速度他距水面的最大高度是多少1.了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵.2.导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵.（重点）探究点1变化率问题问题1气球膨胀率我们都吹过气球.回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数,那么334()VrV34()3Vrr当V从0增加到1L时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为当V从1L增加到2L时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为10062dm()().()rr10062dmL10()().(/)rr(2)(1)0.16(dm)rr21016dmL21()().(/)rr显然0.62>0.16334()VrV我们来分析一下:思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?解析：2121r(V)r(V)VVhto问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?0052.:ttv请计算和1时间里的平均速度hto解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:65049t思考：(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?6501049()()hh0hvt在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里的运动状态.121)()fxfxyxxx2(这里Δx看作是相对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2同样Δy=f(x2)-f(x1)平均变化率定义:上述问题中的变化率可用式子表示.称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.若设Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)121)()fxfxxx2(观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?121)()xfxyxxx2f(OABxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=x△f(x2)-f(x1)=△y直线AB的斜率在高台跳水运动中,平均速度不能反映运动员在这段时间里的运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.又如何求瞬时速度呢?探究点2导数的概念平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?105.69.4)(2ttth求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度解：(2)(2)13.14.9hvththtt△t<0时,在[2+△t,2]这段时间内△t>0时,在[2,2+△t]这段时间内1.139.4tv1.139.4tv13.051v当△t=–0.01时,13.149v当△t=0.01时,130951.v当△t=–0.001时,131049.v当△t=0.001时,13.09951v当△t=–0.0001时,13.10049v当△t=0.0001时,13099951.v当△t=–0.00001时,13100049.v当△t=0.00001时,13.0999951v当△t=–0.000001时,13.1000049v当△t=0.000001时,…………当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?当△t趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近于一个确定的值–13.1.从物理的角度看,时间间隔|△t|无限变小时,平均速度就无限趋近于t=2时的瞬时速度.因此,运动员在t=2时的瞬时速度是–13.1m/s.v从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度13.14.9hvtt1.13...