高数无穷小量的比较VIP免费

无穷小量的比较无穷小量的比较一、无穷小量的比较一、无穷小量的比较二、等价无穷小量代换二、等价无穷小量代换引引两个无穷小量的和、差与乘积仍是无穷小两个无穷小量的和、差与乘积仍是无穷小量，但是两个无穷小量的商，会出现什么情况？量，但是两个无穷小量的商，会出现什么情况？一、无穷小量的比较一、无穷小量的比较观察下列极限观察下列极限xxx3lim20xxxsinlim0,0,1当当xx00时时,3,3xx,,xx22,sin,sinxx都是无穷小都是无穷小,,203lim,xxx上述极限中上述极限中,,分子、分母都是无穷小分子、分母都是无穷小,,但不但不同比的极限各不相同同比的极限各不相同,,反映了不同的无穷小趋于零的反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度“快慢”程度..下面给出无穷小量比较的几个概念下面给出无穷小量比较的几个概念..定义定义11,设设是自变量同一变化过程中的无穷小是自变量同一变化过程中的无穷小,,,0lim（（11）若）若则称则称是比是比高阶的无穷高阶的无穷小小,,)(o,lim（（22））若若（（33））若若,0limC记作记作则称则称是比是比低阶的无穷低阶的无穷小小;;则称则称是是的的同阶无穷小同阶无穷小;;（（44））若若)0(,0limkCk则称则称是是的的kk阶无穷小阶无穷小..,1lim若若~~或或则称则称是是的的等价无穷等价无穷小小,,记作记作例如例如,,当当)(o～～0x时时3x26xxsin;xxtan;～～xxarcsin～～x20cos1limxxx220sin2limxx又如又如，，22)(4x21故故时时是关于是关于xx的二阶无穷小的二阶无穷小,,xcos1221x～～且且例例11..求求解解::原式原式例例2.2.求求解解::令令,1xat则则,)1(logtxa原式原式)1(loglim0ttat说明说明::当当时时,,有有~)1ln(x~1xexx例例3.3.证明证明::当当时时,,～～证证::11nx～～xn1nnba)(ba1(naban2)1nbsin~,arcsin~,xxxx常用的等价无穷小常用的等价无穷小：当：当xx00时时tan~,arctan~,xxxxln(1)~,xx,ln~)1(logaxxaaxaxln~1111~,nxxn+-211cos~,2xx1~,xex222x()11~.xxaa+-一般形式)0)(()(~))(1ln(xfxfxf如其他公式类似~10sinxax如~cos1,03xx~1231523xx时，0x)23(5123xxaxlnsin26x定理定理11在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中,,,,,,lim且存在，则limlim.二、等价无穷小量代换二、等价无穷小量代换lim)lim(limlimlimlim.证证例例44求求解解因为当因为当.2tansinlim0xxx,2~2tan,~sin,0xxxxx时所以所以.212lim2tansinlim00xxxxxx例例55求求解解.3tanlim20xxxx.313lim3tanlim2020xxxxxxxx例例66求求解解.sintanlim30xxxx210,1cos~,2xxx时故故3300tan1costansinlimlimxxxxxxxx32021limxxxx.2130limxxxx原式注意：注意：等价无穷小替换忌“加减”。即对于代数和等价无穷小替换忌“加减”。即对于代数和各无穷小不能分别替换。各无穷小不能分别替换。例例7.7.求求.1cos1)1(lim3120xxx解解::.sinlimsin0xxeeIxxx解解::.sin1limsinsin0xxeeIxxxx1例例1010..求求例93220sin)1ln()12)(cos1(limxxxxx32402ln2limxxxxx.22ln例例8.8.求求解解作作业业P573,4P573,4例例11.11.113tan21lnlim3220xxxxxIxuu21~11解解32203tan21lnlim2xxxxxIx]3tan21ln[lim2322320xxxxxxxx10)32(2xx2~21ln223~3tanxx]32[lim23223220xxxxxxx]1312[lim20xxx例12131)1()1()1)(1(limnnxxxxx1xt=+令130)11()11)(11(limnnttttt1032limnttnttt.!1n