圆和圆的位置关系经典例题+练习 VIP专享VIP免费

1例1.已知⊙O1、⊙O2半径分别为15cm和13cm，它们相交于A、B两点，且AB长24cm，求O1O2长。分析：该题没有给出图形，两圆相交有两种可能性：1.两圆心在公共弦的两侧；2.两圆心在公共弦的同侧；因此，我们必须分两种情况来解。解：（1）连结O1O2交AB于C（2）连结O1O2并延长交AB于C ⊙O1⊙O2交于A、B两点∴⊥，且OOABACABcm121212在Rt△AO1C中，由勾股定理：OCOAACcm11222215129()在Rt△AO2C中，由勾股定理：OCOAACcm22222213125∴如图（1）O1O2=O1C+O2C=14cm如图（2）O1O2=O1C－O2C=4cm例1是两圆相交时的一题两解问题，希望引起同学们的重视。例2.如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，AC切⊙O2于C交⊙O1于B，AP交⊙O2于D，求证：（1）PC平分∠BPD（2）若两圆内切，结论还成立吗？证明你的结论。证明：（1）过P点作公切线PM交AC于M点 AC切⊙O2于C∴MP=MC∴∠MCP=∠MPC2在⊙O1中，由弦切角定理：∠BPM=∠A ∠CPD为△APC的外角∴∠CPD=∠A+∠MCP=∠BPM+∠MPC=∠BPC∴PC平分∠BPD。（2）两圆内切时仍有这样的结论。证明：过P点作公切线PM交AB延长线于M AM切⊙O2于C，∴MC=MP∴∠MPC=∠MCP∴∠MPB=∠A ∠MCP为△CPA的外角∠MCP=∠CPA+∠A又∠MPC=∠MPB+∠BPC∴∠BPC=∠CPA即PC平分∠BPD。在解决有关两圆相切的问题时，过切点作两圆的公切线是常见的一条辅助线，利用弦切角及圆周角的性质或切线长定理，可使问题迎刃而解。从这道题我们还可以联想到做过的两道题，①当A、B重合时，也就是AC成为两圆的外公切线时，PC⊥AD，即我们书上的例题（P129例4）②当APD经过O1、O2时，PB⊥AC，PC平分∠BPD的证法就更多了。例3.如图，以FA为直径的⊙O1与以OA为直径的⊙O1内切于点A，△ADF内接于⊙O，DB⊥FA于B，交⊙O1于C，连结AC并延长交⊙O于E，求证：3（1）AC=CE（2）AC2=DB2－BC2分析：（1）易证（2）由（1）我们可联想到相交弦定理，延长DB交⊙O于G：即AC·CE=DC·CG由垂径定理可知DB=BG，问题就解决了。证明：（1）连结OG，延长DB交⊙O于G， OA为⊙O1直径∴OC⊥AE在⊙O中OC⊥AE∴AC=CE（2）在⊙O中， DG⊥直径AF∴DB=GB由相交弦定理：AC·CE=DC·CG=（DB－BC）（BG＋BC） AC=CE∴AC2＝DB2－BC2本题中主要应用了垂径定理，相交弦定理等知识，另外，证明过程中线段代换比较巧妙，应认真体会。例4.如图：⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A作⊙O1切线交⊙O2于点C，过点B作两圆割线交⊙O1和⊙O2于D、E，DE与AC相交于P点，（1）求证：PA·PE=PC·PD（2）当AD与⊙O2相切且PA=6，PC=2，PD=12时，求AD的长。分析：（1）从图中我们看到有相交弦定理和切割线定理可用。（2）求AD想到用切割线定理，但PB、PE均未知，利用相交弦定理也只能求出它们的乘积，我们连结公共弦得两个弦切角，再连结CE，可推出AD∥CE，这样，问题就解决了。（1）证明： PA切⊙O1于A，PBD为⊙O1割线∴·∴PAPBPDPBPAPD22在⊙O2中由相交弦定理PAPCPBPEPBPAPCPE··∴·∴·∴··PAPDPAPCPEPAPEPCPD2（2）连结AB、CE CA切⊙O1于AAB为弦∴∠CAB=∠D ⊙O2中∠CAB=∠E4∴∠D=∠E∴AD∥CE∴ PCPAPEPDPCPAPD2612∴·×PEPCPDPA21264由相交弦定理：··∴×PBPEPCPAPB2643∴BE=3+4=7DB=12－3=9由切割线定理AD2=DB·DE=9×(9+7)∴AD=12解与两圆相交的有关问题时，作两圆的公共弦为辅助线，使不同的两个圆的圆周角建立联系，沟通它们之间某些量的关系，同学们应注意它的应用。例5.如图，已知：⊙O与⊙B相交于点M、N，点B在⊙O上，NE为⊙B的直径，点C在⊙B上，CM交⊙O于点A，连结AB并延长交NC于点D，求证：AD⊥NC。分析：要证AD⊥NC，我们可证∠C+∠CAD=90°或∠DBN+∠BND=90°，这里可用到的是①NE为直径，它对的圆周角是直角，因此我们连结EC，而∠ECM=∠ENM，又可利用圆内接四边形的性质得∠ENM=∠CAD，从而得证。证明：连结EC EN为直径∴∠ECM+∠ACD=90° 四边形ABNM内接于⊙O∴∠CAD=∠MNE ∠ECM=∠MNE∴∠CAD+∠ACD=90°∴∠ADC=180°－90°=90°∴AD⊥NC从证明中可见点B在⊙O上这一条件的重要性。例6.如图：已知△DEC中DE=DC，过DE作⊙O1交EC、DC于B、A，过A、B、C作⊙O2，过...