模块二常见模型专练专题29一线三等角模型例1（2020·江苏苏州·统考中考真题）问题1：如图①，在四边形中，，是上一点，，．求证：．问题2：如图②，在四边形中，，是上一点，，．求的值．例2（2021年·吉林长春·中考真题）在中，，直线经过点C，且于D，于E．(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②．(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．例3（2020年·海南·中考真题）（1）尝试探究：如图①，在中，，ABAC，AF是过点A的一条直线，且B，C在AE的同侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，则图中与线段AD相等的线段是；DE与BD、CE的数量关系为．（2）类比延伸：如图②，，BA=BC，点A，B的坐标分别是(-2，0)，(0，3)，求点C的坐标．（3）拓展迁移：在（2）的条件下，在坐标平面内找一点P（不与点C重合），使与△ABC全等．直接写出点P的坐标．一线三等角是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形。这个角可以是直角，也可以是锐角或者钝角。对于“一线三等角”，有的地区叫“K型图”，也有的地区叫“M型图”。“一线三等角”的起DE绕A点旋转,从外到内，从一般位置到特殊位置.下面分几种类型讨论：一、直角形“一线三等角”——“一线三直角”结论：△ADB∽△CEA二、锐角形“一线三等角结论：△ADB∽△CEA∽△CAB三、钝角形“一线三等角结论：△ADB∽△CEA∽△CAB【变式1】（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P是BC上一点，且BP＝2，将一个大小与∠B相等的角的顶点放在P点，然后将这个角绕P点转动，使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点为D、E．(1)求证：△BPD∽△CEP；(2)是否存在这样的位置，△PDE为直角三角形？若存在，求出BD的长；若不存在，说明理由．【变式2】（2022·河北唐山·唐山市第十二中学校考一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中A（－2，0），点D（4，3）为该抛物线上一点．(1)B点坐标为______；(2)直线x=n交直线AD于点K，交抛物线于点P，且点P在点K上方，连接PA、PD．①请直接写出线段PK长（用含n的代数式表示）②求△PAD面积的最大值；(3)将直线AD绕点A逆时针旋转90°得到直线l，若点Q是直线l上的点，且∠ADQ=45°，请直接写出点Q坐标______．【变式3】（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-交x轴于A、B两点，点C在抛物线上，且点C的横坐标为-1，连接BC交y轴于点D．(1)如图1，求点D的坐标；(2)如图2，点P在第二象限内抛物线上，过点P作PG⊥x轴于G，点E在线段PG上，连接AE，过点E作EF⊥AE交线段DB于F，若EF=AE，设点P的横坐标为t，线段PE的长为d，求d与t的函数关系式；(3)如图3，在（2）的条件下，点H在线段OB上，连接CE、EH，若∠CEF=∠AEH，EH-CE=，求点P的坐标．【变式4】（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考二模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为，过点P作轴，垂足为M．PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；(3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标．【变式5】（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，中，，且点为边的中点．将绕点旋转，在旋转过程中，射线与线段相交于点，射线与射线相交于点，连结．(1)如图1，当点在线段上时，①求证：∽；②线段，，之间存在怎样的数量关系？请说明理由；(2)当为等腰三角形时，求的值．【培优练习】1．（2022秋·浙江丽水·八年级统考期末）如图，点P，D分别是∠ABC边BA，BC上的点，且，．连结PD，以PD为边，在PD的右侧作等边△DPE，连结BE，则△BDE的面积为（）A．B．2C．4D．2．（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（）A．3B．2C．D．3．（2022秋·八年级课时练习）如图所示，中，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，则_...
