高二数学教案：组合（2）VIP免费

组合（2）——组合数的性质一、课题：组合（2）——组合数的性质二、教学目标：1．掌握组合数的两个性质，并能运用组合数的性质进行化简；2．进一步理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式，并且能够运用公式解决一些简单的应用问题。三、教学重、难点：组合数的性质。四、教学过程：（一）复习、引入：1．排列和组合的定义及其区别，组合数公式；强调：排列——次序性；组合——无序性．2．练习（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？（2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？答案：（1）45210C（组合问题）（2）90210A（排列问题）3．练习（1）计算：①310C和710C；26C和46C．根据计算的结果猜想一般的结论，并予以证明。答案：①120，120；②15，15．（此练习的目的为下面学习组合数的性质1打下基础）．（二）新课讲解：1．组合数的性质1：mnnmnCC．理解：一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下nm个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的nm个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出nm个元素的组合数，即：mnnmnCC．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想。证明： )!(!!)]!([)!(!mnmnmnnmnnCmnn又)!(!!mnmnCmn，∴mnnmnCC。说明：①规定：10nC；②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；③此性质作用：当2nm时，计算mnC可变为计算mnnC，能够使运算简化，例如：20012002C＝200120022002C＝12002C=2002；④ynxnCCyx或nyx．2．示例：（课本101例4）一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，用心爱心专心（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：（1）5638C；（2）2127C；（3）3537C．引导学生发现：38C27C37C，并要求用组合的知识解释，根据计算的结果猜想一般的结论，并予以证明。我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立。一般地，从121,,,naaa这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是mnC1，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a，一类不含有1a．含有1a的组合是从132,,,naaa这n个元素中取出m1个元素与1a组成的，共有1mnC个；不含有1a的组合是从132,,,naaa这n个元素中取出m个元素组成的，共有mnC个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．3．组合数的性质2：mnC1＝mnC+1mnC．证明：)]!1([)!1(!)!(!!1mnmnmnmnCCmnmn)!1(!!)1(!mnmmnmnn)!1(!!)1(mnmnmmn)!1(!)!1(mnmnmnC1∴mnC1＝mnC+1mnC．说明：①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；②此性质的作用：恒等变形，简化运算。4．例题分析：例1（1）计算：69584737CCCC；（2）求证：nmC2＝nmC+12nmC+2nmC．解：（1）原式4565664889991010210CCCCCCC；证明：（2）右边1121112()()nnnnnnnmmmmmmmCCCCCCC左边。例2解方程：（1）3213113xxCC；（2）解方程：333222101xxxxxACC．用心爱心专心解：（1）由原方程得123xx或12313xx，∴4x或5x，又由111312313xxxN得28x且xN，∴原方程的解为4x或5x。注:上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把4x和5x代入检验,这样运算量小得多.（2）原方程可化为2333110xxxCA，即5333110xxCA，∴(3)!(3)!5!(2)!10!xxxx，∴11120(2)!10(1)(2)!xxxx，∴2120xx，解得4x或3x，经检验：4x是原...