互斥事件、对立事件【学习目标】1.理解互斥事件、对立事件的概念和实际意义,能根据它们的定义来辨别一些事件是否互斥,是否对立.2.会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率.3.会用对立事件概率公式计算对立事件的概率.4.从中受到辩证唯物主义的教育.【基础知识精讲】课文全解本节内容主要有两部分:一是互斥事件、对立事件的基本概念,二是互斥事件概率加法公式、对立事件概率公式及其运用.1.互斥事件如果两个事件A和B不可能同时发生,则称A和B互斥(互不相容).从集合的角度看,是指这两个事件所含的结果组成的集合不相交,则A∩B=.易知,必然事件与不可能事件是互斥的.如果A1,A2,…,An中的任何两个都是互斥事件,那么我们就说,事件A1,A2,…,An彼此互斥.从集合的角度看,n个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此各不相交.例如,从一堆产品(其中正品和次品都多于2个)中任取2件,其中:(1)“恰有一件次品和恰有两件次品”就是互斥事件;(2)“至少有一件次品和全是次品”就不是互斥事件;(3)“至少有一件次品和全是正品”也是互斥事件.再如,掷一个六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字的正方体玩具。事件A:向上的数字大于4;事件B:向上的数字小于3;两种事件不可能同时出现,则A、B是互斥事件.若事件A向上的数字大于4,事件B向上的数字为偶数,则A、B两事件不是互斥的.因为向上的数字为6时,既是事件A发生,又是事件B发生.2.对立事件如果A与B是互斥事件,且在一次试验中A与B必有一个发生,则称它们为对立(互逆)事件.从集合的角度看,由事件B所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.也即满足条件:A∩B=且A∪B=U,通常事件A的对立事件记作.由定义知,互斥事件是对立事件的必要不充分条件.即对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件.如掷正方体玩具向上的面的数字大于4和向上的数字小于3两个事件,A、B是互斥的但不是对立.因为A、B两个事件可以都不发生.若事件A是向上的数字为偶数,事件B是向上的数字为奇数,则A、B是对立事件,对立事件A和的概率性质为P(A)+P()=1,即两个对立事件的概率和为1.3.互斥事件A与B的和由于集合是可以运算的,可用集合表示的事件也能进行某些运算.设A、B是两个事件,那么“在同一试验中,A或B至少有一个发生”这一事件,则称为A与B的和,记作A+B(或A∪B).教材仅限于两互斥事件的和事件.推而广之,“A1+A2+…+An”表示这样一个事件:在同一试验中,A1,A2,…,An中至少有一个发生即表示它发生.4.概率加法公式两互斥事件的和的概率,等于这两事件的概率的和.即P(A+B)=P(A)+P(B).更一般用心爱心专心115号编辑地,有限个彼此互斥事件的和的概率,等于这些事件的概率的和.即利用这一定理来求概率的步骤是:(1)要确定这诸事件彼此互斥;(2)这诸事件中有一发生;(3)先求出这诸事件分别发生的概率,再求其和.值得注意的是:(1)(2)两点是公式的使用条件,不符合这两点,是不能运用互斥事件的概率加法公式的.5.对立事件概率公式对立事件的概率和等于1,即P(A)+P()=1.通常,当直接求某一事件的概率较为复杂时,可先转而去求其对立事件的概率.6.求复杂概率事件的方法在求某些稍复杂的事件的概率时,通常有两种方法:一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和;二是先求此事件的对立事件的概率,利用概率的可加性及对立事件概率之间的关系,可以大大地简化某些事件概率的计算.问题全解1.怎样判断事件是互斥事件、对立事件?互斥事件是不可能同时发生的事件,它可以是两个事件之间,也可以是多个事件之间;对立事件首先应是互斥事件,且两者中必有一个发生,它仅适用于两个事件之间.[例1]某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅,记事件A为“只订甲报”,事件B为“至少订一种报”,事件C为“至多订一种报”,事件D为“不订甲报”,事件E为“一种报也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立...