第二课时 余弦定理VIP免费

第二课时余弦定理教学目标：了解向量知识应用，掌握余弦定理推导过程，会利用余弦定理证明简单三角形问题，会利用余弦定理求解简单斜三角形边角问题，能利用计算器进行运算；通过三角函数、余弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.教学重点：余弦定理证明及应用.教学难点：1.向量知识在证明余弦定理时的应用，与向量知识的联系过程；2.余弦定理在解三角形时的应用思路.教学过程：Ⅰ.课题导入上一节，我们一起研究了正弦定理及其应用，在体会向量应用的同时，解决了在三角形已知两角一边和已知两边和其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决，如图(1)在直角三角形中，根据两直角边及直角可表示斜边，即勾股定理，那么对于任意三角形，能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题.在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，试根据b，c，A来表示a.分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边a可利用勾股定理用CD、DB表示，而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示，DB可利用AB—AD转化为AD，进而在Rt△ADC内求解.解：过C作CD⊥AB，垂足为D，则在Rt△CDB中，根据勾股定理可得：a2＝CD2＋BD2 在Rt△ADC中，CD2＝b2－AD2又 BD2＝(c－AD)2＝c2－2c·AD＋AD2∴a2＝b2－AD2＋c2－2c·AD＋AD2＝b2＋c2－2c·AD又 在Rt△ADC中，AD＝b·cosA∴a2＝b2＋c2－2bccosA类似地可以证明b2＝a2＋c2－2accosBc2＝a2＋b2－2abcosC另外，当A为钝角时也可证得上述结论，当A为直角时a2＝b2＋c2也符合上述结论，这也正是我们这一节将要研究的余弦定理，Ⅱ.讲授新课用心爱心专心115号编辑1.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.形式一：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.形式二：cosA＝，cosB＝，cosC＝.在余弦定理中，令C＝90°，这时，cosC＝0，所以c2＝a2＋b2，由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外，对于余弦定理的证明，我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明，以进一步体会向量知识的工具性作用.2.向量法证明余弦定理(1)证明思路分析由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现，那么可以与哪些向量知识产生联系呢?向量数量积的定义式：a·b＝｜a｜｜b｜cosθ，其中θ为a、b的夹角.在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处，但又有所区别，首先因为无须进行正、余弦形式的转换，也就省去添加辅助向量的麻烦.当然，在各边所在向量的联系上依然通过向量加法的三角形法则，而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导，比如证明形式中含有角C，则构造CB·CA这一数量积以使出现cosC.同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提.(2)向量法证明余弦定理过程：如图，在△ABC中，设AB、BC、CA的长分别是c、a、b.由向量加法的三角形法则可得AC＝AB＋BC，∴AC·AC＝(AB＋BC)·(AB＋BC)＝AB2＋2AB·BC＋BC2＝｜AB｜2＋2｜AB｜｜BC｜cos(180°－B)＋｜BC｜2＝c2－2accosB＋a2即b2＝c2＋a2－2accosB由向量减法的三角形法则可得：BC＝AC－AB∴BC·BC＝(AC－AB)·(AC－AB)＝AC2－2AC·AB＋AB2＝｜AC｜2－2｜AC｜｜AB｜cosA＋｜AB｜2＝b2－2bccosA＋c2即a2＝b2＋c2－2bccosA由向量加法的三角形法则可得AB＝AC＋CB＝AC－BC∴AB·AB＝(AC－BC)·(AC－BC)＝AC2－2AC·BC＋BC2＝｜AC｜2－2｜AC｜｜BC｜cosC＋｜BC｜2＝b2－2bacosC＋a2.即c2＝a2＋b2－2abcosC评述：(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则.用心爱心专心115号编辑(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定，AC与AB属于同起点向量，则夹角为A；AB与BC是首尾相接，则夹角为角B的补角180°－B；AC与BC是同终点，则夹角仍是角C.在证明了余弦定理之后，我们来进一步学习余弦定理的应用.利用余弦定理，我们可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角.这类...