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第三课时 两角和与差的正切VIP免费

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第三课时两角和与差的正切教学目标:掌握T(α+β),T(α-β)的推导及特征,能用它们进行有关求值、化简;提高学生简单的推理能力,培养学生的应用意识,提高学生的数学素质.教学重点:两角和与差的正切公式的推导及特征.教学难点:灵活应用公式进行化简、求值.教学过程:.Ⅰ复习回顾sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(S(α+β))sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ(S(α-β))cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(C(α+β))cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C(α-β))要准确把握上述各公式的结构特征..Ⅱ讲授新课一、推导公式上述公式结合同角三角函数的基本关系式,我们不难得出:当cos(α+β)≠0时tan(α+β)==如果cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0,我们可以将分子、分母都除以cosαcosβ,从而得到:tan(α+β)=不难发现,这一式子描述了两角α与β的和的正切与这两角的正切的关系.同理可得:tan(α-β)=或将上式中的β用-β代替,也可得到此式.这一式子又描述了两角α与β的差的正切与这两角的正切的关系.所以,我们将这两式分别称为两角和的正切公式、两角差的正切公式,简记为T(α+β),T(α-β).但要注意:运用公式T(α±β)时必须限定α、β、α±β都不等于+kπ(k∈Z),因为tan(+kπ)不存在.下面我们看一下它们的应用二、例题讲解[例1]不查表求tan75°,tan15°的值.解:tan75°=tan(45°+30°)===2+tan15°=tan(45°-30°)===2-[例2]求下列各式的值(1)(2)(1)分析:观察题目结构,联想学过的公式,不难看出可用两角差的正切公式.用心爱心专心解:=tan(71°-26°)=tan45°=1(2)分析:虽不可直接使用两角和的正切公式,但经过变形可使用之求解.解:由tan150°=tan(75°+75°)=得:=2·=2·=2cot150°=2cot(180°-30°)=-2cot30°=-2说明:要熟练掌握公式的结构特征,以灵活应用.[例3]利用和角公式计算的值.分析:因为tan45°=1,所以原式可看成这样,我们可以运用正切的和角公式,把原式化为tan(45°+15°),从而求得原式的值.解:∵tan45°=1∴==tan(45°+15°)=tan60°=说明:在解三角函数题目时,要注意“1”的妙用.[例4]若tan(α+β)=,tan(β-)=,求tan(α+)的值.分析:注意已知角与所求角的关系,则可发现(α+)+(β-)=α+β,所以可将α+化为(α+β)-(β-),从而求得tan(α+)的值.解:tan(α+)=tan[(α+β)-(β-)]=将tan(α+β)=,tan(β-)=代入上式,则,原式==[例5]已知tanα=,tan(α-β)=-,求tan(β-2α).解:∵α+(α-β)=2α-βtan∴(β-2α)=tan[-(2α-β)]=-tan(2α-β)=-tan[α+(α-β)]===-4.证明tan-tan=分析:细心观察已知等式中的角,发现它们有隐含关系:+=2x,-=xsin∴x=sincos-cossin①cosx+cos2x=2coscos②÷①②即得:=-=tan-tan..Ⅲ课堂练习1.化简下列各式(1)tan(α+β)·(1-tanαtanβ)(2)-1(3)解:(1)tan(α+β)(1-tanαtanβ)=(1-tanαtanβ)=tanα+tanβ(2)-1=-1=1+tanαtanβ-1=tanαtanβ(3)=tan[(α-β)+β]=tanα说明:这一题目若将tan(α-β)用两角差的正切公式展开,则误入歧途,要注意整体思想.2.求值:(1)(2)用心爱心专心(3)tan21°(1+tan24°)+tan24°解:(1)=tan(35°+25°)=tan60°=(2)=tan(86°-26°)=tan60°=(3)分析:因为tan21°=tan(45°-24°)=又因为tan45°=1所以,1+tan24°=1+tan45°tan24°这样,可将原式化为:tan(45°-24°)(1+tan45°tan24°)+tan24°从而求得原式的值.解:tan21°(1+tan24°)+tan24°=tan(45°-24°)(1+tan45°tan24°)+tan24°=(1+tan45°tan24°)+tan24°=1.Ⅳ课时小结正切的和、差角公式以及它们的等价变形.即:tan(α±β)=Tanα±tanβ=tan(α±β)[1tanαtanβ]1tanαtanβ=这些公式在化简、求值、证明三角恒等式时都有不少用处..Ⅴ课后作业课本P105习题1,2,3,4用心爱心专心

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