第三课时 两角和与差的正切VIP免费

第三课时两角和与差的正切教学目标：掌握T（α＋β），T（α－β)的推导及特征，能用它们进行有关求值、化简；提高学生简单的推理能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.教学重点：两角和与差的正切公式的推导及特征.教学难点：灵活应用公式进行化简、求值.教学过程：.Ⅰ复习回顾sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ（S（α＋β））sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ（S（α－β））cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ（C（α＋β））cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ（C（α－β））要准确把握上述各公式的结构特征..Ⅱ讲授新课一、推导公式上述公式结合同角三角函数的基本关系式，我们不难得出：当cos（α＋β）≠0时tan（α＋β）＝＝如果cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0，我们可以将分子、分母都除以cosαcosβ，从而得到：tan（α＋β）＝不难发现，这一式子描述了两角α与β的和的正切与这两角的正切的关系.同理可得：tan（α－β）＝或将上式中的β用－β代替，也可得到此式.这一式子又描述了两角α与β的差的正切与这两角的正切的关系.所以，我们将这两式分别称为两角和的正切公式、两角差的正切公式，简记为T（α＋β），T（α－β）.但要注意：运用公式T（α±β）时必须限定α、β、α±β都不等于＋kπ（k∈Z），因为tan（＋kπ）不存在.下面我们看一下它们的应用二、例题讲解［例1］不查表求tan75°，tan15°的值.解：tan75°＝tan（45°＋30°）＝＝＝2＋tan15°＝tan（45°－30°）＝＝＝2－［例2］求下列各式的值（1）（2）(1)分析：观察题目结构，联想学过的公式，不难看出可用两角差的正切公式.用心爱心专心解：＝tan（71°－26°）＝tan45°＝1(2)分析：虽不可直接使用两角和的正切公式，但经过变形可使用之求解.解：由tan150°＝tan（75°＋75°）＝得：＝2·＝2·＝2cot150°＝2cot（180°－30°）＝－2cot30°＝－2说明：要熟练掌握公式的结构特征，以灵活应用.［例3］利用和角公式计算的值.分析：因为tan45°＝1，所以原式可看成这样,我们可以运用正切的和角公式，把原式化为tan（45°＋15°）,从而求得原式的值.解：∵tan45°＝1∴＝＝tan（45°＋15°)＝tan60°＝说明：在解三角函数题目时，要注意“1”的妙用.［例4］若tan（α＋β）＝，tan（β－）＝，求tan（α＋）的值.分析：注意已知角与所求角的关系，则可发现（α＋）＋（β－）＝α＋β，所以可将α＋化为（α＋β）－（β－），从而求得tan（α＋）的值.解：tan（α＋）＝tan［（α＋β）－（β－)］＝将tan（α＋β）＝，tan（β－)＝代入上式，则，原式＝＝［例5］已知tanα＝，tan（α－β）＝－，求tan（β－2α).解：∵α＋（α－β）＝2α－βtan∴（β－2α）＝tan［－（2α－β）］＝－tan（2α－β）＝－tan［α＋（α－β)］＝＝＝－4.证明tan－tan＝分析：细心观察已知等式中的角，发现它们有隐含关系：＋＝2x，－＝xsin∴x＝sincos－cossin①cosx＋cos2x＝2coscos②÷①②即得：＝－＝tan－tan..Ⅲ课堂练习1.化简下列各式(1)tan（α＋β）·（1－tanαtanβ）(2)－1(3)解：（1）tan（α＋β）（1－tanαtanβ）＝（1－tanαtanβ）＝tanα＋tanβ(2)－1＝－1＝1＋tanαtanβ－1＝tanαtanβ(3)＝tan［（α－β）＋β］＝tanα说明：这一题目若将tan（α－β）用两角差的正切公式展开，则误入歧途，要注意整体思想.2.求值：(1)(2)用心爱心专心(3)tan21°（1＋tan24°）＋tan24°解：(1)＝tan（35°＋25°）＝tan60°＝(2)＝tan（86°－26°）＝tan60°＝（3）分析：因为tan21°＝tan（45°－24°）＝又因为tan45°＝1所以，1＋tan24°＝1＋tan45°tan24°这样，可将原式化为：tan（45°－24°）（1＋tan45°tan24°）＋tan24°从而求得原式的值.解：tan21°（1＋tan24°）＋tan24°＝tan（45°－24°）（1＋tan45°tan24°）＋tan24°＝（1＋tan45°tan24°）＋tan24°＝1.Ⅳ课时小结正切的和、差角公式以及它们的等价变形.即：tan（α±β）＝Tanα±tanβ＝tan（α±β）［1tanαtanβ］1tanαtanβ＝这些公式在化简、求值、证明三角恒等式时都有不少用处..Ⅴ课后作业课本P105习题1，2，3，4用心爱心专心